积分大观题集

求$I = \int \frac{x^4+1}{1+x^6} dx$.

计算$\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)} dx$

计算$\int_{\frac{1}{2}}^{+\infty} \frac{6x}{x^3+1} dx$.

$\int \frac{\ln({x+\sqrt{1+x^2}})}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} dx$

设$a_n = \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1-x^2} dx (n=0,1,2,......)$.
（Ⅰ）证明数列{$a_n$}单调递减，且$a_n = \frac{n-1}{n+2} a_{n-2} (n = 2,3,......)$;
（Ⅱ）求$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$.

求积分$I_n = \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} dx \quad (n \ge 1, a > 0)$ 的递推关系；

计算$\int_0^\pi \sqrt{1-\sin x} dx$。

计算$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} e^{\frac{x}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{\cos x}} dx$。

设$f(x) = \frac{1}{1+\sin^2 x}, x \in [0,\pi]$，则$f(x)$ 在$[0,\pi]$ 上的全体原函数是（）

25 设函数$f(x)= $$$\left\lbrace{}$$ \begin{array}{ll}\dfrac{\ln ^{\alpha+1}(1+x)}{1+x}, & 0<x<\dfrac{1}{2}, AsteroidLatexLineBreakToken\dfrac{x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{a}{2}}}, & \dfrac{1}{2} \leqslant x<1.\end{array} $$\right.$$ 若积分$\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛, 则 ( )

【13】下列反常积分收敛的是（ ）.

(2024 数二）设非负函数$f(x)$ 在$[0, +\infty)$ 上连续，给出以下三个命题：

① 若$\int_0^{+\infty} f^2(x),\mathrm{d}x$ 收敛，则$\int_0^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$ 收敛。

② 若存在$p > 1$，使得$\lim_{x \to +\infty} x^p f(x)$ 存在，则$\int_0^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$ 收敛。

③ 若$\int_0^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$ 收敛，则存在$p > 1$，使得$\lim_{x \to +\infty} x^p f(x)$ 存在。

其中真命题的个数为

关于$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{|x|} \sin 2x \ dx$，下列结论正确的是

求$p$ 的取值范围, 使得$\int_1^{+\infty} \sin\frac{\pi}{x} \cdot \frac{\mathrm{d}x}{\ln^p x}$ 收敛.

对于未知参数$a$ 和$b$, 反常积分
$$\int_1^{+\infty} \left[ \frac{a - 2e + 2}{2} + \frac{a(1 - 2x + ex) - \frac{1}{2}a^2x + bx}{2x^2 + ax} \right] dx \quad ( \quad )$$

A. 一定不收敛．
B. 一定收敛．
C. 若收敛, 则其值为 1．
D. 若收敛, 则其值为$e$．

考虑积分$\int_0^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{\ln(1+x)},\mathrm{d}x$，则该积分（ ）