一元微分大观题集

设函数$f(x)$ 在$x = a$ 的某个邻域内具有二阶导数, 且$f''(a) \neq 0$, 且存在$\delta > 0$, 使得当$x \in (a - \delta, a + \delta)$ 时,$\lim_{t \to a} \frac{f(t) - f(x)}{(t - x)^2}$ 均存在, 且当$x \neq a$ 时,$\lim_{t \to a} \frac{f(t) - f(x)}{(t - x)^2} \geq 0$, 则（ ）

A.$x = a$ 是$f(x)$ 的极小值点.
B.$x = a$ 是$f(x)$ 的极大值点.
C.$x = a$ 不是$f(x)$ 的极值点.
D. 无法确定$x = a$ 是否为极值点.

设$f(x)$ 在$x_0$ 的某邻域内连续，且$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{(x - x_0)^n} = 1$，则（ ）。

设$f(x)$ 在$(-1,1)$ 内可导, 且$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 1$, 则 ( ).

设函数$y = f(x)$ 在$(0, +\infty)$ 内有界且可导，则（　）

设函数$f(x)$ 在区间$[0,+\infty)$ 上可导，则（ ）

A. 当$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在时，$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在。

B. 当$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在时，$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在。

C. 当$\lim_{x \to +\infty} \frac{\int_0^x f(t)dt}{x}$ 存在时，$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在。

D. 当$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在时，$\lim_{x \to +\infty} \frac{\int_0^x f(t)dt}{x}$ 存在。

设$f(x)$ 在$x = a$ 的某邻域内有定义，在$x = a$ 的某去心邻域内可导，下述论断正确的是（ ）。
A. 若$\lim_{x \to a} f'(x) = A$，则$f'(a) = A$
B. 若$f'(a) = A$，则$\lim_{x \to a} f'(x) = A$
C. 若$\lim_{x \to a} f'(x) = \infty$，则$f'(a)$ 不存在
D. 若$f'(a)$ 不存在，则$\lim_{x \to a} f'(x) = \infty$

设$f(x) = |x^3 - 4x|\sqrt[3]{x^2 - 2x - 8}$，则$f(x)$ 的不可导的点的个数

A. 0 个.
B. 1 个.
C. 2 个.
D. 3 个.

设$f(x), g(x)$ 在$x = x_0$ 可导，$F(x) = g(x)|f(x)|$，又$f(x_0) = 0$，则$F'(x_0)$ 存在的充要条件是

设函数$f(x)$ 在$[0, +\infty)$ 上二阶可导，且$f(0) = 0$. 下列命题中，正确命题的个数为（ ）
① 若在$(0, +\infty)$ 上恒有$f''(x) < 0$，则$\frac{f(x)}{x}$ 在$(0, +\infty)$ 上单调减少。
② 若$\frac{f(x)}{x}$ 在$(0,1]$ 上单调减少，则在$(0,1]$ 上恒有$f''(x) \leq 0$。
③ 若$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在。
④ 若在$(0, +\infty)$ 上恒有$f''(x) < 0$，且$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在。

设$f(x) = g(x)\varphi(x)$, 其中$g(x), \varphi(x)$ 在$x = x_0$ 邻域$U$ 有定义,$g(x)$ 在$x = x_0$ 连续,$\varphi(x)$ 在$x = x_0$ 不连续, 但在$U$ 有界, 则$g(x_0) = 0$ 是$f(x)$ 在$x = x_0$ 连续的

设函数$f(x)$ 在$x = x_0$ 某邻域有定义, 则存在函数$g(x)$ 在$x_0$ 处连续并使$f(x) - f(x_0) = (x - x_0)g(x)$ 是$f(x)$ 在$x = x_0$ 处可导的

下列函数中，在$x = 0$ 处不可导的是（ ）

设函数$f(x)$ 在$[-1,1]$ 上连续，且当$x \neq 0$时，$$f(x) = \frac{e^{ax} + e^{bx} - 2}{\cos x + \cos 2x - 2},$$
其中$a, b$ 为非零常数。求$f(0)$，并讨论$f(x)$ 在$x=0$ 处的可导性。

设函数$f(x) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + |x|^{3n}}$，则$f(x)$ 在$(-\infty, +\infty)$ 内（　）

设$f(x)=\left\lbrace{}\begin{array}{ll}\sqrt{x}, & x \geqslant 0 AsteroidLatexLineBreakToken \sqrt{-x}, & x<0\end{array}\right.$, 则

A.$f(x)$ 在$x=0$ 不连续.

B.$f'(0)$ 存在.

C.$f'(0)$ 不存在, 曲线$y=f(x)$ 在$(0,0)$ 不存在切线.

D.$f'(0)$ 不存在, 曲线$y=f(x)$ 在$(0,0)$ 有切线.

设$y = f(x)$由参数方程$$ \begin{cases} x = 2t + |t|, AsteroidLatexLineBreakToken y = 5t^2 + 4t|t| \end{cases} $$
确定，则$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=0} =$ ________.

设函数$y = f(x)$由$$ \begin{cases} x = 2t + |t| AsteroidLatexLineBreakToken y = |t|\sin t \end{cases} $$
确定, 则 ( ).

设函数$f_1(x), f_2(x), g(x)$ 在$x=0$ 的某邻域内均可导, 其中$f_1(x)>0, f_2(x)>0, g(x)=e^{f_1(x)f_2(x)}$. 令
$$\varphi(x)=\frac{e^x g(x)}{f_1(x) f_2(x)},$$
若$f_1'(0)=f_2'(0)=0$, 则（ ）

设$y = x^x$，则$y' =$ ________；

设$y = x^{x^x}$，则$y' =$ ________.

设$f(x) = \sqrt{\frac{(1+x)\sqrt{x}}{e^{x-1}}} + \arcsin\frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}}$，则$f'(1) =$

设$f(x) = \ln(1 + x + x^2)$, 则$f^{(100)}(0) = $ ________.

设$f(x)$ 为定义在$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上的分段连续函数，且$\lim_{x\to0^-}f(x)=-1,\lim_{x\to0^+}f(x)=1$，则$F(x)=$
$$\int_0^x(\sin x-\sin t)f(t)dt$$
在$x=0$ 处可导的最高阶数为 ________.

设$f(x) = \dfrac{\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}$，则$f^{(n)}(0) =$ _________.

设$f(x) = \dfrac{1}{1 + 2x + 4x^2}$，则$f^{(100)}(0) =$ ________；

设$f(x) = \ln(\sqrt{1+x^2} - x)$，则$f^{(5)}(0) =$ ________

设$f(x) = \arctan x$，求$f^{(n)}(0)$。

设 $ f(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^x - 1 - x^2, & x \leq 0, AsteroidLatexLineBreakToken \ln(1 - x) + 2x + \dfrac{1}{2}x^3, & x > 0. \end{cases} $

若$f^{(n)}(0)$ 存在，则$n$ 的最大值为 ________.

设$f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \neq 0, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & x = 0, \end{cases}$ 求$f^{(n)}(0)$.

设函数$f(x) = e^x \cos x + e^{-x} \sin x$，则$f^{(99)}(0) = $ ________.

设函数$f(x)$ 连续，给出下列 4 个条件

①$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - f(0)}{x}$ 存在；
②$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - |f(0)|}{x}$ 存在；
③$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在；
④$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - |f(0)|}{x}$ 存在。

其中可得到“$f(x)$ 在$x = 0$ 处可导”的条件个数为（　）

A．1．
B．2．
C．3．
D．4．

设$f(x)$ 有二阶连续导数,$f(0)=f'(0)=0$,$f''(0)>0$,$u=u(x)$ 是曲线$y=f(x)$ 在点$(x,f(x))$ 处的切线在$x$ 轴上的截距, 求$\lim_{x\to 0}\frac{x}{u(x)}$.

设$f(x)$ 二阶可导, 且$f(0) = 0$,$f'(0) = 0$,$f''(x) > 0$. 若曲线$y = f(x)$ 在点$P(x, f(x))$ 处的切线在$x$ 轴上的截距为$u$, 求极限$$\lim_{x \to 0} \frac{x^3 f(u)}{f(x) \sin^3 u}.$$

设$y = \tan^n x$ 在$x = \frac{\pi}{4}$ 处的切线在$x$ 轴上的截距为$x_n$，则$\lim_{n \to \infty} y(x_n) = $ ________.

曲线$y = x \ln \frac{x}{x-1} + \ln[x(x-1)]$ 的渐近线的条数为（　）

曲线$y = \dfrac{x^2 + 1}{\sqrt{x^2 - 1}}$

曲线$x^3 + y^3 = y^2$ 的斜渐近线方程为 ________.

设$g(x)$ 是函数$f(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{3+x}{3-x}$ 的反函数，则曲线$y = g(x)$ 的渐近线方程为 ________.

设函数$f(x)$ 连续, 且$f'(0)>0$, 则存在$\delta>0$, 使得 (　)

设$f(x)$ 在$x = x_0$ 处有二阶导数，则（ ）

设$f(x), g(x)$ 在$x = x_0$ 处可导，且$f(x_0) = g(x_0) = 0$,$f'(x_0)g'(x_0) < 0$，则（ ）。

设$f(x) = 3x^2 + Ax^{-3}$ ($x > 0$),$A$ 为正常数, 则$A$ 至少为 ________ 时, 有$f(x) \geq 20$ ($x > 0$).

当$x > 0$ 时，$x^2 \leq e^{ax}$ 恒成立，则$a$ 的最小值为 ________.

$f(x) = \frac{1}{1 + |x|} + \frac{1}{1 + |x - a|}$ ($a > 0$) 的最大值为 ( ).

设$f(x)=nx(1-x)^n$ (n为正整数), 求$f(x)$ 在$[0,1]$ 上的最大值$M(n)$ 及$\lim_{n \to \infty} M(n)$.

$$F(x)=\int_{0}^{x^{2}} \frac{d t}{\left(1+5 t^{2}\right) \sqrt{1+t^{2}}}$$ 的值域为 ________.

已知函数$f(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}} \sin t dt, g(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}} dt \cdot \sin ^{2} x$, 则

曲线$f(x) = x^2(x-1)^2(x-3)^2$ 拐点的个数为 ________.

设$y = y(x)$ 在$x = 0$ 邻域二阶连续可导且满足$xy'' + y'^2 = \arctan^2 x$, 则

设$f(x)$ 满足$f''(x) + (1 - \cos x)f'(x) + xf(x) = \sin x$，且$f(0) = 2$，则（ ）.

设函数$f(x)$ 有二阶连续导数,$x = 0$ 是$f(x)$ 的驻点, 若在$x = 0$ 附近,$f(x)$ 满足$$\sin x f''(x) + \tan x f'(x) = \sqrt{\cos x} - 1,$$ 则（ ）

A.$x = 0$ 是$f(x)$ 的极大值点.
B.$x = 0$ 是$f(x)$ 的极小值点.
C.$x = 0$ 不是$f(x)$ 的极值点.
D. 不能确定$x = 0$ 是否为$f(x)$ 的极值点.

Solve the equation$2x^2 - 5x + 2 = 0$.

设$g(x)$ 在$x=0$ 的某邻域内连续，$f(x)$ 具有一阶连续导数，且满足$\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = -3$，
$$f'(x) = \ln(1 + x^2) - x \int_0^1 g(xt) , dt,$$
则（ ）。
A.$x = 0$ 是$f(x)$ 的极大值点
B.$x = 0$ 是$f(x)$ 的极小值点
C.$(0, f(0))$ 是曲线$y = f(x)$ 的拐点
D. 以上结论均不正确

设函数$f(x)$ 满足$f''(x) + \ln(x+1)f'(x) + \arctan x f(x) = \int_0^x f(t)dt$，则下列说法中，错误的是（　）

A. 若$f'(0) \ne 0$，则$x=0$ 不是$f(x)$ 的极值点。

B. 若$f'(0) \ne 0$，则点$(0, f(0))$ 是曲线$y = f(x)$ 的拐点。

C. 若$x=0$ 是$f(x)$ 的极值点，则点$(0, f(0))$ 是曲线$y = f(x)$ 的拐点。

D. 若$x=0$ 是$f(x)$ 的极值点，则当$x \to 0$ 时，$f'(x)$ 是$x^2$ 的高阶无穷小。

下列命题中正确的是（ ）.

A. 设$f(x)$ 在$(a,b)$ 内只有一个驻点$x_0$, 且$x = x_0$ 是$f(x)$ 的极小值点, 则$f(x_0)$ 是$f(x)$ 的最小值

B. 设$x = x_0$ 是$f(x)$ 的极值点, 则点$(x_0,f(x_0))$ 不是曲线$y = f(x)$ 的拐点

C. 设$f(x)$ 在$x = x_0$ 处二阶可导,$x = x_0$ 是$f(x)$ 的极小值点, 则$f'(x_0) = 0, f''(x_0) > 0$

D. 设$f'_-(b) < 0$, 则$f(b)$ 不是$f(x)$ 在$[a,b]$ 上的最大值