一元微分大观题集

设函数$f(x)$ 在$x = a$ 的某个邻域内具有二阶导数, 且$f''(a) \neq 0$, 且存在$\delta > 0$, 使得当$x \in (a - \delta, a + \delta)$ 时,$\lim_{t \to a} \frac{f(t) - f(x)}{(t - x)^2}$ 均存在, 且当$x \neq a$ 时,$\lim_{t \to a} \frac{f(t) - f(x)}{(t - x)^2} \geq 0$, 则（ ）

A.$x = a$ 是$f(x)$ 的极小值点.
B.$x = a$ 是$f(x)$ 的极大值点.
C.$x = a$ 不是$f(x)$ 的极值点.
D. 无法确定$x = a$ 是否为极值点.

设$f(x)$ 在$x_0$ 的某邻域内连续，且$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{(x - x_0)^n} = 1$，则（ ）。

设$f(x)$ 在$(-1,1)$ 内可导, 且$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 1$, 则 ( ).

设函数$y = f(x)$ 在$(0, +\infty)$ 内有界且可导，则（　）

设函数$f(x)$ 在区间$[0,+\infty)$ 上可导，则（ ）

A. 当$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在时，$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在。

B. 当$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在时，$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在。

C. 当$\lim_{x \to +\infty} \frac{\int_0^x f(t)dt}{x}$ 存在时，$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在。

D. 当$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在时，$\lim_{x \to +\infty} \frac{\int_0^x f(t)dt}{x}$ 存在。

设$f(x)$ 在$x = a$ 的某邻域内有定义，在$x = a$ 的某去心邻域内可导，下述论断正确的是（ ）。
A. 若$\lim_{x \to a} f'(x) = A$，则$f'(a) = A$
B. 若$f'(a) = A$，则$\lim_{x \to a} f'(x) = A$
C. 若$\lim_{x \to a} f'(x) = \infty$，则$f'(a)$ 不存在
D. 若$f'(a)$ 不存在，则$\lim_{x \to a} f'(x) = \infty$

设$f(x) = |x^3 - 4x|\sqrt[3]{x^2 - 2x - 8}$，则$f(x)$ 的不可导的点的个数

A. 0 个.
B. 1 个.
C. 2 个.
D. 3 个.

设$f(x), g(x)$ 在$x = x_0$ 可导，$F(x) = g(x)|f(x)|$，又$f(x_0) = 0$，则$F'(x_0)$ 存在的充要条件是

设函数$f(x)$ 在$[0, +\infty)$ 上二阶可导，且$f(0) = 0$. 下列命题中，正确命题的个数为（ ）
① 若在$(0, +\infty)$ 上恒有$f''(x) < 0$，则$\frac{f(x)}{x}$ 在$(0, +\infty)$ 上单调减少。
② 若$\frac{f(x)}{x}$ 在$(0,1]$ 上单调减少，则在$(0,1]$ 上恒有$f''(x) \leq 0$。
③ 若$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在。
④ 若在$(0, +\infty)$ 上恒有$f''(x) < 0$，且$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在。

设$f(x) = g(x)\varphi(x)$, 其中$g(x), \varphi(x)$ 在$x = x_0$ 邻域$U$ 有定义,$g(x)$ 在$x = x_0$ 连续,$\varphi(x)$ 在$x = x_0$ 不连续, 但在$U$ 有界, 则$g(x_0) = 0$ 是$f(x)$ 在$x = x_0$ 连续的

设函数$f(x)$ 在$x = x_0$ 某邻域有定义, 则存在函数$g(x)$ 在$x_0$ 处连续并使$f(x) - f(x_0) = (x - x_0)g(x)$ 是$f(x)$ 在$x = x_0$ 处可导的

下列函数中，在$x = 0$ 处不可导的是（ ）