一、求极限快速判别敛散性

由$p$积分我们可以知道，$\int \frac{1}{x} dx$是它的发散与收敛状态的一个临界点，那么我们通过将一个反常积分的被积函数同$\frac{1}{x}$比较，自然就能快速判别敛散性。

那么一般我们按以下步骤进行：

1.寻找奇点

首先我们要找到积分反常的缘由，也就是被积函数的奇点：无定义点、分母为0的点以及趋近无穷的点。如果有多个奇点，那么应该把积分区域分开，使得每个区域上下限仅有一个奇点并且内部没有奇点。

2.求极限

假设我们得知奇点为点$x = x_0$，那么我们就将被积函数除以$\frac{1}{x - x_0}$，也就是乘以一个$x - x_0$，那么得到一个函数$\phi(x)$。

如果奇点在无穷远处，那么就将原函数乘以$x$得到$\phi(x)$，然后再计算到无穷的极限。

3.判断敛散性

对极限$\lim \phi (x)$，如果极限结果为0，那么原反常积分收敛；否则发散。

二、必要知识总结

1.无穷大与无穷小的阶数

指数函数>>幂函数>>对数函数，一般我们都用$e^x>>x^k>>lnx$。

例：求$\lim\limits_{x \to 0} x^k lnx (k>0)$，虽然此时$lnx$趋近于无穷，但是其阶数比幂函数低得多，那么自然要服从于幂函数，所以极限为$0$。

2.区间信息的补充

对于一类$p$积分$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx$，由于$p$在小于0的时候一定收敛，不为反常积分，所以一般都会给出$p>0$的预设条件使得其为反常积分。很多时候这个补充的条件会成为答案区间的一部分，务必注意。

三、不适用场景

$(lnx)^p$位于分母且极限趋近于无穷的时候，其在无穷点处的无穷大阶数无法用$x$来量化，会导致方法失效。

通式是做换元令$lnx = t$，然后讨论$(p-1)$大于、小于和等于的情况。

注：极限趋近$1$的时候仍然可以用上面的方法。