零、导入

这是由《李正元超越135分》专题6引申出的话题。

其对函数单调性的判定作了严谨定义：若函数$f(x)$在$(a,b)$内（或$[a,b]$上）连续，在$(a,b)$内除最多有限个点外满足$f'(x)>0$（或$<0$），则$f(x)$在$(a,b)$内（或$[a,b]$上）单调增加（或单调减少）。

这里的最多有限个点是关键。值得注意的是，国内外对于单调增加（increase）的默认定义是不同的。国内的单调增加是严格单调递增，非严格的一般称作单调不减，其容许区间内有某个子区间内$f'(x)=0$；国外的increase是不严格的单调递增，strictly increase才是严格单调递增。

那么这里就有一个问题，严格单调递增既然容许有限个点的导数不大于0，为什么还是严格？其与单调不减有什么区别？

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一、有限制的容许

先从严格单调递增的定义来看：只要$x_1<x_2$，就必然有$f(x_1)<f(x_2)$。

这里面完全没有导数的身影。只要整体往上走，没有出现函数平着走或者往下走的情况，就认为其是严格单调递增的。

而两者最大的区别就在于有限个的限制。这样的限制使得严格单调递增区间内的所有不满足导数大于0的点全部为孤立点。可以理解为函数在这些点只是休息了一瞬间，下一刻就继续进行递增。而单调不减所允许的子区间上导数为0内部会有无限个点，这说明函数在这一段区间内一直都在休息，不能认为是严格的单调递增。

以函数$f(x)=x^3$为例，其在$(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$上导数均大于0，在点$x=0$，其导数为0，但是这个点是孤立点，并不能组成一个子区间，所以我们认为这个函数是单调递增的。

在可导的前提下，单调性与导数的关系如下：

① 充分条件：$f'(x)>0$ 恒成立$\Rightarrow f(x)$严格单调递增。

② 充要条件：$f(x)$严格单调递增$\Leftrightarrow$ $f'(x)\geq0$且$f'(x)$在任何子区间内都不恒等于$0$。

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二、讨论不可导与导数小于0的孤立点

回到李正元书上的定义，这个有限个例外点，是否还能容许不可导与导数小于0的点呢？

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1.不可导点

我们来举两个例子：第一个是$f(x)=2x+|x|$，显然其在$x=0$处不可导，但是其只是在零点突然折了一下，仍然还是单调递增的；第二个是$g(x)=x^(\frac{1}{3})$，其在零点处有铅锤的切线，导数趋近于无穷，但其仍是单调递增的。

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2.导数小于0的点

这是完全无法容忍的情况，即使是孤立点。我们可以由极限的保号性来分析为什么。对于极限$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}<0$，其会创造出一个去心邻域，使得邻域左端点的函数值大于右边，显然不满足单调递增的定义。

这会让人觉得有点赖皮，为什么不可导点都能容忍，但而小于0创造的邻域却不行？

因为保号性在这个时候不能提供任何信息，不知道$f(x)$是以怎样的方式趋近0的，所以不能找到否定单调递增定义的反例子区间。

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三、回顾“隐藏”限制

讨论完最重要的孤立点限制，来说说最容易被人忽视的一个限制，就是函数$f(x)$在$(a,b)$内（或$[a,b]$上）连续。

针对函数$f(x)=-\frac{1}{x}$，可以看到它完全符合我们前面对于不可导点的讨论：导数在除零点以外的点导数值都严格大于0，唯一一个不可导点也只是孤立点。但其不在$(-\infty,+\infty)$上单调递增，只能说其在$(-\infty,0)$ 与$(0,+\infty)$上单调递增（注意这里不是并集而是与）。正是因为函数并不在全域上连续。除此之外，函数值在零点的左极限是$+\infty$，右极限是$-\infty$，并且$(-\infty,0)$ 的函数值比$(0,+\infty)$的函数值都要高，也可以证明此函数不在$(-\infty,+\infty)$上单调递增，甚至不单调不减。

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四、引申到积分

这题说明在区间上有间断点的函数也可能有原函数。只要其在区间内只有有限个间断点，就可以将原函数$F(x)$广义理解为其在区间内除有限个点外可导，就可以推广牛顿-莱布尼茨公式。这个思路和上面是异曲同工。