张宇1000题基础篇——线性代数部分

行列式 $$ \begin{vmatrix} x & 1 & 0 & 1 AsteroidLatexLineBreakToken 0 & 1 & x & 1 AsteroidLatexLineBreakToken 1 & x & 1 & 0 AsteroidLatexLineBreakToken 1 & 0 & 1 & x \end{vmatrix} $$ 展开式中的常数项为（ ）。

不恒为零的函数$f(x) =$ $$ \begin{vmatrix} a_1 + x & b_1 + x & c_1 + x AsteroidLatexLineBreakToken a_2 + x & b_2 + x & c_2 + x AsteroidLatexLineBreakToken a_3 + x & b_3 + x & c_3 + x \end{vmatrix} $$ 则( )。(A) 没有零点 (B) 至多有 1 个零点 (C) 恰有 2 个零点 (D) 恰有 3 个零点

设 3 阶矩阵$A$ 与$B$ 等价，则下列结论正确的是（ ）。

设3阶矩阵$A$ 与$B$ 等价，则下列结论正确的是（ ）。

设 2 阶正交矩阵$A$ 的主对角线元素满足$a_{11} + 2 = a_{22}$，则$A =$ ?

设$A$ = $$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} AsteroidLatexLineBreakToken a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} AsteroidLatexLineBreakToken a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{bmatrix} $$$。对 $A$分别以列和行分块，记为$A = $$ \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \end{bmatrix} $$ = $$ \begin{bmatrix} \beta_1 AsteroidLatexLineBreakToken \beta_2 AsteroidLatexLineBreakToken \beta_3 \end{bmatrix} $$ ，其中 $$ \begin{vmatrix} a_{12} & a_{14} AsteroidLatexLineBreakToken a_{32} & a_{34} \end{vmatrix} $$ ≠ 0 ，$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} AsteroidLatexLineBreakToken a_{21} & a_{22} & a_{23} AsteroidLatexLineBreakToken a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $$ = 0，则以下结论中：

①$r(A) = 2$；
②$a_2, a_4$ 线性无关；
③$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性相关；
④$a_1, a_2, a_3$ 线性相关。

设$A$ 是 3 阶非零矩阵，满足$A^2 = O$，若非齐次线性方程组$Ax = b$ 有解，则其线性无关的解向量的个数为（　　）．

设$A$ 为$n(n \geq 2)$ 阶方阵，$A^*$ 为$A$ 的伴随矩阵，若对任一$n$ 维列向量$\alpha$，均有$A^\alpha = 0$，则齐次线性方程组$Ax = 0$ 的基础解系所含解向量的个数$k$ 必定满足$2 \leq k \leq n$。

已知非齐次线性方程组
$$ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -1, AsteroidLatexLineBreakToken 4x_1 + 3x_2 + 5x_3 - x_4 = -1, AsteroidLatexLineBreakToken ax_1 + x_2 + 3x_3 + bx_4 = 1 \end{cases} $$
有 3 个线性无关的解，记该方程组的系数矩阵为$A$。求：

(1)$a$,$b$ 的值；

(2) 该方程组的通解；

(3) 齐次线性方程组$A^T A x = 0$ 的通解。

设 3 阶实对称矩阵$A$ 的各行元素之和均为 2，其主对角线元素之和为 5，$r(A)=2$，则二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x^{\mathrm{T}}Ax$ 满足条件$x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$ 的最大值为（　　）。

已知二次型$f(x_1, x_2, x_3) = ax_1^2 + ax_2^2 + ax_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_2x_3$ 对应的矩阵为$A$，且其在正交变换$x = Qy$ 下的标准形为$y_1^2 + y_2^2 - 2y_3^2$。

(1) 求$a$ 的值和正交矩阵$Q$。

(2) 设矩阵$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 AsteroidLatexLineBreakToken c & b & 0 AsteroidLatexLineBreakToken -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$若$A$ 与$B$ 相似，求$b, c$ 的值。在此情形下，是否存在正交矩阵$P$，使$P^TAP = B$？若存在，求$P$；若不存在，请说明理由。

设$A$ 为$n(n > 1)$ 阶方阵，$i, j = 1, 2, \cdots, n$；$i \neq j$，互换$A$ 的第$i$ 行与第$j$ 行得到矩阵$B$，再互换$B$ 的第$i$ 列与第$j$ 列得到矩阵$C$，则$A$ 与$C$（　）。

已知$A$ 为 3 阶矩阵，$E$ 为 3 阶单位矩阵，且$(aE + A)^2 $ = $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 AsteroidLatexLineBreakToken 0 & 2 & 0 AsteroidLatexLineBreakToken 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$$\operatorname{tr}(A) = 2\sqrt{2} - 3a$，$a$ 为常数。
(1) 求矩阵$A$；
(2) 若$A$ 正定，求$a$ 的取值范围。

(1) 设二次型$f(x, y, z) = y^2 + 2xz$，用正交变换$x = Qy$ 将其化为标准形，并写出$Q$；

(2) 求函数$g(x, y, z) = \dfrac{y^2 + 2xz}{x^2 + y^2 + z^2} \ (x^2 + y^2 + z^2 \ne 0)$ 的最大值，并求出一个最大值点。

设$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 AsteroidLatexLineBreakToken 1 & 2 & 3 & \cdots & s AsteroidLatexLineBreakToken 1 & 2^2 & 3^2 & \cdots & s^2 AsteroidLatexLineBreakToken \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots AsteroidLatexLineBreakToken 1 & 2^{n-1} & 3^{n-1} & \cdots & s^{n-1} \end{bmatrix}$，其中$s, n$ 是正整数，证明$A^TA$ 是实对称矩阵，并就正整数 s, n的情况讨论矩阵 A^TA 的正定性。