已知矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix}$，若下三角可逆矩阵$P$和上三角可逆矩阵$Q$可使得$PAQ$为对角矩阵，则$P,Q$可以分别取（ ）。

多项式$f(x) = \begin{vmatrix} x & x & 1 & 2x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x \end{vmatrix}$中$x^3$项的系数为

已知$a_n = \sqrt[n]{n} - \frac{(-1)^n}{n}(n = 1,2,\cdots)$，则$\lbrace{}a_n\rbrace{}$（）。

设$\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{pmatrix}\lambda\\1\\1\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{pmatrix}1\lambda\\1\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{pmatrix}1\\1\lambda\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_4=\begin{pmatrix}1\lambda\lambda^2\end{pmatrix}$，若向量组$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$与$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_4$等价，则$\lambda$的取值范围是（ ）.

已知$a_n < b_n(n=1,2,\cdots)$，且级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$都收敛，则“$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$绝对收敛”是“$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$绝对收敛”的（ ）.

设$A,B$为$n$阶可逆矩阵,$E$为$n$阶单位矩阵,$M^*$为矩阵$M$的伴随矩阵,则$\begin{pmatrix}A&E\\O&B\end{pmatrix}^*=$（ ）.

已知平面区域$D = \lbrace{}(x,y) \mid (x - 1)^2 + y^2 \leqslant 1\rbrace{}$，计算二重积分$I = \iint\limits_D \left| \sqrt{x^2 + y^2} - 1 \right| \mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

设函数$f(x)$在$[-a,a]$上具有二阶连续导数，证明：
（Ⅰ）若$f(0) = 0$，则存在$\xi \in (-a,a)$，使得
$$f''(\xi) = \frac{1}{a^2}[f(a) + f(-a)]；$$
（Ⅱ）若$f(x)$在$(-a,a)$内取得极值，则存在$\eta \in (-a,a)$，使得
$$|f''(\eta)| \geqslant \frac{1}{2a^2}|f(a) - f(-a)|.$$

设幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为$\ln(2+x)$，则$\sum_{n=0}^{\infty} n a_{2n} = (\quad)$。

设随机变量$X,Y$相互独立，且均服从参数为$\lambda$的指数分布，令$Z=|X-Y|$，则下列随机变量与$Z$同分布的是( ).

设函数$f(x)$具有二阶导数，且$f'(0)=f'(1)$，$|f''(x)|\leqslant1$. 证明：
（Ⅰ）当$x \in (0,1)$时，$|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|\leqslant\frac{x(1-x)}{2}$；
（Ⅱ）$\left|\int_{0}^{1} f(x)\mathrm{d}x - \frac{f(0)+f(1)}{2}\right|\leqslant\frac{1}{12}$.

设矩阵$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6 \end{pmatrix}$,$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2 \end{pmatrix}$,向量$\boldsymbol{\alpha} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$,$\boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.

（Ⅰ）证明:方程组$\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{\alpha}$ 的解均是方程组$\boldsymbol{Bx} = \boldsymbol{\beta}$ 的解；

（Ⅱ）若方程组$\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{\alpha}$ 与方程组$\boldsymbol{Bx} = \boldsymbol{\beta}$ 不同解,求$a$ 的值.