微观经济学·第 3 章：消费者行为

消费者选择可以压成一条主线：偏好决定想要什么，预算约束决定买得起什么，二者共同决定最终选择什么。无差异曲线、预算线、边际效用和显示性偏好不是四套理论，而是在用不同语言描述同一个最优化问题。

全文统一使用一组数据贯穿预算与最优选择：

$$I=120,\qquad P_x=10,\qquad P_y=20$$

其中，$I$ 是收入，$P_x$、$P_y$ 是商品$X$、$Y$ 的价格。

消费者偏好：先给商品组合排序

市场篮子与偏好关系

市场篮子是由一种或多种商品按一定数量组成的消费组合。例如：

$$A=(x_A,y_A),\qquad B=(x_B,y_B)$$

消费者比较的不是单个商品名称，而是完整的商品组合。偏好关系通常写成：

• $A\succ B$：消费者严格偏好$A$；
• $A\sim B$：消费者认为$A$ 与$B$ 无差异；
• $A\succeq B$：消费者认为$A$ 至少不差于$B$。

偏好的三个基本假设

1. 完备性：任意两个篮子都可以比较，即$A\succeq B$、$B\succeq A$ 或二者同时成立。
2. 传递性：若$A\succeq B$ 且$B\succeq C$，则$A\succeq C$。它保证偏好排序内部一致。
3. 多多益善（非饱和性）：其他条件相同，消费者通常偏好包含更多“好商品”的组合。若存在厌恶品、中性品或饱和点，这一假设需要相应放松。

完备性和传递性使消费者能够形成一致排序；非饱和性则使预算通常被用完，并使更远离原点的无差异曲线代表更高效用。

效用函数：给偏好排序贴上数值标签

效用与效用函数

效用表示消费者从商品或服务中获得的满足程度。效用函数写成：

$$U=f(x,y)$$

如果$U(A)>U(B)$，只表示消费者更偏好$A$，不表示$A$ 带来的满足“比$B$ 多多少倍”。在消费者理论中，效用值的主要作用是排序。

基数效用与序数效用

理论	核心含义	常用分析工具
基数效用论	假定效用可以用数值表示并讨论边际效用	边际效用、边际效用递减、边际效用均等原则
序数效用论	只要求消费者能够对不同组合排序，不要求测量效用差额	无差异曲线、边际替代率、预算约束

现代消费者理论主要使用序数效用。若对效用函数作严格单调递增变换，例如：

$$V=g(U),\qquad g'(U)>0$$

偏好排序不会改变，因此表示的是同一套偏好。

不同消费者的效用数值通常也不能直接比较。$U_A=100$、$U_B=50$ 不能推出消费者$A$ 的满足程度是消费者$B$ 的两倍。

无差异曲线：把相同偏好的组合连起来

定义与效用水平

无差异曲线表示给消费者带来相同效用水平的所有商品组合：

$$U=f(x,y)=\bar U$$

同一条曲线上的点彼此无差异；不同曲线代表不同效用水平。

无差异曲线的基本性质

在完备性、传递性、非饱和性和凸偏好等常规假设下，无差异曲线具有以下性质：

1. 向右下方倾斜：若想在效用不变时增加一种好商品，通常必须减少另一种好商品。
2. 两条无差异曲线不能相交：若相交，会依据无差异关系推出曲线上两个明显不同的组合彼此无差异，与非饱和性或传递性冲突。
3. 离原点越远，效用水平越高：该结论依赖“多多益善”。
4. 每个可行消费点都位于某一条无差异曲线上：连续偏好可以形成一族无差异曲线。
5. 通常凸向原点：消费者偏好多样化的组合，边际替代率递减。

“凸向原点”描述的是曲线弯曲方向，不等于斜率为正。常规无差异曲线仍然向右下方倾斜。

边际替代率

商品$X$ 对商品$Y$ 的边际替代率，表示在效用保持不变时，消费者为多得到一单位$X$ 最多愿意放弃多少单位$Y$：

$$MRS_{xy}=-\left.\frac{dy}{dx}\right|_{U=\bar U}$$

这里把$MRS$ 作为正的“愿意放弃数量”理解；无差异曲线本身的斜率是负值。

对可微效用函数，有：

$$dU=MU_x,dx+MU_y,dy=0$$所以：$$MRS_{xy}=-\frac{dy}{dx}=\frac{MU_x}{MU_y}$$

边际替代率递减是指：沿同一条凸的无差异曲线向右移动，$X$ 越来越多、$Y$ 越来越少，消费者为再增加一单位$X$ 愿意放弃的$Y$ 越来越少。

两类特殊偏好

完全替代品

若两种商品可以按固定比率相互替代，可用线性效用函数表示：

$$U=ax+by,\qquad a,b>0$$此时无差异曲线是直线，边际替代率恒定：$$MRS_{xy}=\frac{a}{b}$$

消费者会比较每元钱带来的效用：

• 若$a/P_x>b/P_y$，通常只购买$X$；
• 若$a/P_x<b/P_y$，通常只购买$Y$；
• 若二者相等，预算线上的任意组合都可能最优。

完全互补品

若两种商品必须按固定比例搭配消费，可写成：

$$U=\min\lbrace{}ax,by\rbrace{},\qquad a,b>0$$无差异曲线呈直角形，最优点通常位于折点：$$ax=by$$

多出来却无法与另一种商品配套的部分不会增加效用。左右脚鞋、固定比例配套的设备可近似表示这种偏好。

预算约束：把“想要”限制在“买得起”以内

预算集合与预算线

消费者的可行消费集合为：

$$P_xx+P_yy\le I$$预算线是恰好花完收入的组合：$$P_xx+P_yy=I$$整理为：$$y=\frac{I}{P_y}-\frac{P_x}{P_y}x$$

因此：

• 横轴截距为$I/P_x$；
• 纵轴截距为$I/P_y$；
• 斜率为$-P_x/P_y$。

预算线斜率表示市场给出的交换比率：多购买一单位$X$，必须放弃$P_x/P_y$ 单位$Y$。

代入统一例子：

$$10x+20y=120$$

横轴截距为 12，纵轴截距为 6，斜率为$-1/2$。

预算线怎样移动

外生变化	预算线变化	原因
收入增加，价格不变	平行向外移动	斜率不变，两个截距同比增加
收入减少，价格不变	平行向内移动	购买力下降
$P_x$ 下降，其他不变	围绕纵轴截距向外旋转	$I/P_y$ 不变，$I/P_x$ 增大，斜率绝对值下降
$P_x$ 上升，其他不变	围绕纵轴截距向内旋转	$I/P_x$ 减小，斜率绝对值上升
$P_y$ 变化	围绕横轴截距旋转	$I/P_x$ 不变
收入与两种价格同比例变化	预算线不变	实际购买力和相对价格都不变

只看名义收入不能判断购买力。若收入增加一倍、所有价格也增加一倍，预算集合完全不变。

配给、数量税和数量折扣

现实中的预算约束不一定是一条完整直线：

• 数量配给：某商品最多只能购买$\bar x$，预算集合在$x=\bar x$ 处被截断。
• 从量税：每单位商品征税$t$，有效价格由$P_x$ 变为$P_x+t$，预算线变陡。
• 单位补贴：每单位补贴$s$，有效价格变为$P_x-s$，预算线变平。
• 数量折扣或分段定价：超过某一数量后单位价格下降，预算线形成向外折的折线。
• 实物补贴或定向券：补贴只能用于特定商品，预算集合可能出现折点，而不是像现金补贴那样整体平移。

判断政策影响时，先画或写出新的预算集合，再讨论消费者选择；不能只说“收入增加”或“价格下降”。

消费者选择：在预算范围内达到最高效用

最优选择的两个要求

消费者最优组合必须同时满足：

1. 位于预算集合内；在多多益善时通常位于预算线上；
2. 在所有可行组合中落在能够达到的最高无差异曲线上。

对于光滑、凸的偏好，内部最优通常是预算线与无差异曲线的切点。

切点条件

切点处，消费者主观愿意交换商品的比率等于市场客观交换比率：

$$MRS_{xy}=\frac{P_x}{P_y}$$结合边际效用：$$\frac{MU_x}{MU_y}=\frac{P_x}{P_y}$$等价地：$$\frac{MU_x}{P_x}=\frac{MU_y}{P_y}=\lambda$$

这就是边际效用均等原则：最后一元钱花在不同商品上带来的边际效用应当相等。

若$MU_x/P_x>MU_y/P_y$，把一部分支出从$Y$ 转向$X$ 可以提高总效用；反之则应把支出转向$Y$。这一调整持续到两者相等，或者达到边界。

用统一例子求最优组合

若消费者的效用函数为：

$$U(x,y)=xy$$则：$$MU_x=y,\qquad MU_y=x,\qquad MRS_{xy}=\frac{y}{x}$$内部最优满足：$$\frac{y}{x}=\frac{10}{20}=\frac12$$

即$y=x/2$。再代入预算约束：

$$10x+20y=120$$解得：$$x^*=6,\qquad y^*=3$$

检查支出：$10\times6+20\times3=120$，预算恰好用完。

切点条件不是永远成立

$MRS=P_x/P_y$ 是光滑、凸偏好下内部最优的典型条件，不是所有最优选择的必要形式。

当消费者把全部收入用于一种商品时，出现角点解。完全替代品尤其容易产生角点解：如果一种商品每元钱带来的效用始终更高，消费者会只买它，预算线与无差异曲线不需要相切。

因此，做题时应按以下顺序：

1. 写预算约束；
2. 判断偏好是否光滑、凸，是否可能出现折点或角点；
3. 若是内部解，使用切点条件；
4. 检查边界点与非负约束；
5. 比较候选点效用。

显示性偏好：从实际选择反推偏好

基本思想

如果消费者在$A$、$B$ 都买得起时选择了$A$，则称$A$ 被直接显示偏好于$B$。用选择行为可以反推出消费者的偏好，而不必询问其主观效用值。

例如在统一预算下，$A=(6,3)$ 的支出为 120，$B=(4,3)$ 的支出为 100。若消费者选择$A$，而$B$ 也在预算集合内，则$A$ 被显示偏好于$B$。

一致性要求

若$A$ 在$B$ 可负担时被选择，则在另一组价格下，当$A$ 仍可负担时，消费者不应严格选择$B$ 并放弃$A$。否则，选择行为会出现循环矛盾。

显示性偏好方法的用途包括：

• 检验实际选择是否符合理性与一致性；
• 在价格、收入变化后判断消费者偏好；
• 对政策前后商品组合进行福利比较。

它观察的是“消费者选了什么”，不是“消费者说自己喜欢什么”。

边际效用与消费者均衡

边际效用

边际效用是多消费一单位商品带来的总效用增量：

$$MU_x=\frac{\partial U}{\partial x},\qquad MU_y=\frac{\partial U}{\partial y}$$

边际效用递减规律是指：在其他商品消费量不变时，随着某种商品消费量增加，该商品的边际效用通常下降。它说明新增一单位商品带来的满足越来越少，不等于总效用一定下降。

只要边际效用仍为正，总效用仍在增加，只是增加速度变慢。

边际效用语言与无差异曲线语言的统一

沿无差异曲线有：

$$MRS_{xy}=\frac{MU_x}{MU_y}$$消费者均衡又要求：$$MRS_{xy}=\frac{P_x}{P_y}$$所以最终得到：$$\frac{MU_x}{P_x}=\frac{MU_y}{P_y}$$

序数效用论的“切点条件”和基数效用论的“每元钱边际效用相等”，本质上是同一个最优条件的两种表达。

生活成本指数

理想生活成本指数

生活成本指数比较在不同价格水平下维持同一效用所需的最低支出。若$e(P_x,P_y,\bar U)$ 是支出函数，以基期效用$U_0$为标准，理想指数为：$$COLI=\frac{e(P_x^1,P_y^1,U_0)}{e(P_x^0,P_y^0,U_0)}$$

它允许消费者在价格变化后重新选择最便宜的消费组合，因此最接近“保持同样生活水平究竟要多花多少钱”的概念。

拉氏指数

拉斯贝尔指数使用基期数量作为固定篮子：

$$I_L=\frac{P_x^1x_0+P_y^1y_0}{P_x^0x_0+P_y^0y_0}$$

它没有反映消费者在相对价格变化后的替代行为，因此通常高估维持原效用所需的生活成本上升。

帕氏指数

帕氏指数使用现期数量作为篮子：

$$I_P=\frac{P_x^1x_1+P_y^1y_1}{P_x^0x_1+P_y^0y_1}$$

它用已经完成替代后的现期篮子来衡量，通常会低估生活成本上升。

链式加权指数

链式指数把相邻时期的价格和数量变化连接起来，定期更新商品篮子，可以减小长期使用固定篮子造成的替代偏差。但若调整过于频繁，数据需求和统计成本会上升。

指数	使用的数量权重	常见偏差
理想生活成本指数	在同一效用约束下重新最优化	理论基准，实际测量困难
拉氏指数	基期篮子	通常偏高
帕氏指数	现期篮子	通常偏低
链式指数	相邻时期动态更新	减少固定权重偏差，但计算和数据要求更高

典型偏好的计算模板

完全互补品

若：

$$U=\min\lbrace{}x,y\rbrace{}$$

最优点位于折点$x=y$。结合预算约束：

$$P_xx+P_yy=I$$得到：$$x^*=y^*=\frac{I}{P_x+P_y}$$

若效用写成$U=\min\lbrace{}ax,by\rbrace{}$，先用$ax=by$ 确定消费比例，再代入预算约束。

完全替代品

若：

$$U=ax+by$$

比较$a/P_x$ 与$b/P_y$：

• 前者大，只买$X$；
• 后者大，只买$Y$；
• 二者相等，预算线上的组合效用相同。

这类题不能机械套用切点条件，因为最优解往往在角点。

强化辨析与答题模板

七组高频易错点

易错说法	正确判断
效用值为 100 的组合比效用值为 50 的组合好一倍	序数效用只用于排序，数值倍数没有行为含义
无差异曲线斜率就是$MRS$	若把$MRS$ 定义为愿意放弃的数量，则它是斜率的绝对值
无差异曲线一定凸向原点	这是凸偏好和边际替代率递减下的结论；完全替代品、完全互补品形状不同
收入上升，预算线变得更平	价格不变时预算线平行外移，斜率不变
消费者均衡一定满足切点条件	角点解、折点解和非凸偏好可能不满足普通切点形式
边际效用递减意味着总效用递减	边际效用为正时，总效用仍增加，只是增加得更慢
拉氏指数和帕氏指数都精确等于生活成本指数	拉氏通常高估，帕氏通常低估，理想指数才以固定效用为基准

最优选择题的卷面结构

先写预算约束$P_xx+P_yy=I$，再根据效用函数求$MU_x$、$MU_y$ 或$MRS_{xy}$。若存在内部最优，令$MRS_{xy}=P_x/P_y$，与预算约束联立求解。最后检查非负约束、角点或折点，并验证预算是否用完及候选点效用大小。

预算线变动题的卷面结构

先判断变化的是收入、某一种商品价格，还是收入与价格同比例变化；再分别比较横纵截距和斜率。收入变化通常使预算线平移，单一价格变化通常使预算线绕另一轴截距旋转，收入与两种价格同比例变化则不改变预算集合。

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把本章压成三句话：

偏好用无差异曲线表示，预算用预算线表示，最优点是可达到的最高无差异曲线。>内部最优把主观交换率与市场交换率对齐：$MRS_{xy}=P_x/P_y$，等价于$MU_x/P_x=MU_y/P_y$。>先检查能不能套切点，再检查角点、折点与预算边界；生活成本比较必须把价格变化后的替代行为考虑进去。

下一章会沿用这一套框架推导个人需求、收入效应、替代效应和消费者剩余，不会重新从偏好与预算开始。