660题集

设$a > 0$,$f(x) = g(x) = \begin{cases} a, & 0 \leq x \leq 1, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & \text{其他}. \end{cases}$ $D$ 表示全平面，则$\iint_D f(x)g(y - x),dx,dy =$

设有下列命题

① 数列$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 收敛（即存在极限$\lim_{n \to \infty} x_n$），则$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 有界。

② 数列极限$\lim_{n \to \infty} x_n = a \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} x_{n+l} = a$。其中$l$ 为某个确定的正整数。

③ 数列极限$\lim_{n \to \infty} x_n = a \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} x_{2n-1} = \lim_{n \to \infty} x_{2n} = a$。

④ 数列极限$\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在$\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = 1$。

则以上命题中正确的个数是

有以下命题：设$\lim_{x \to a} f(x) = A$，$\lim_{x \to a} g(x)$ 不存在，$\lim_{x \to a} h(x)$ 不存在，

①$\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x))$ 不存在．
②$\lim_{x \to a} (g(x) + h(x))$ 不存在．
③$\lim_{x \to a} (h(x) \cdot g(x))$ 不存在．
④$\lim_{x \to a} (g(x) + f(x))$ 不存在．

则以上命题中正确的个数是

设$\lbrace{}x_n\rbrace{}$与$\lbrace{}y_n\rbrace{}$均无界，$\lbrace{}z_n\rbrace{}$有界，则以下命题正确的是

设$f(x)$ 在$(-1,1)$ 内二阶可导，$f''(0) \neq 0$。$\forall x \in (-1,0) \cup (0,1)$，$\exists \theta(x)$ 介于$0$，$x$之间，且满足$f(x) - f(0) = x f'(\theta(x)x)$，则$\lim_{x \to 0} \theta(x) =$

设$f(x) = \begin{cases} 2 - \cos x, & x \leq 0 AsteroidLatexLineBreakToken \sqrt{x} + 1, & x > 0 \end{cases}$，则

(A)$x = 0$ 是$f(x)$ 的极值点，但$(0,1)$ 不是曲线$y = f(x)$ 的拐点．

(B)$x = 0$ 不是$f(x)$ 的极值点，但$(0,1)$ 是曲线$y = f(x)$ 的拐点．

(C)$x = 0$ 是$f(x)$ 的极值点，且$(0,1)$ 是曲线$y = f(x)$ 的拐点．

(D)$x = 0$ 不是$f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 不是曲线$y = f(x)$ 的拐点．

设$\sin x \ln |x|$ 是$f(x)$ 的一个原函数，则不定积分$\int x f'(x) , dx =$

设$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} , dx$,$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} , dx$, 则

关于$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{|x|} \sin 2x , dx$，下列结论正确的是

设$A, B$ 都是不等于零的常数，则微分方程$y'' - 2y' + 5y = e^x \cos 2x$ 有特解

(A)$y^* = x e^x (A \cos 2x + B \sin 2x)$.

(B)$y^* = e^x (A \cos 2x + B \sin 2x)$.

(C)$y^* = A x e^x \cos 2x$.

(D)$y^* = A x e^x \sin 2x$.

设 $ f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & (x,y) \neq (0,0) AsteroidLatexLineBreakToken 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$，则 $ f(x,y)$在点$(0,0)$ 处

(A) 两个偏导数都不存在．
(B) 两个偏导数都存在但不可微．
(C) 偏导数连续．
(D) 可微但偏导数不连续．

函数$f(x,y) = kx^2 + y^3 - 3y$ 在点$(0,1)$ 处

(A) 取极大值．
(B) 取极小值．
(C) 不取得极值．
(D) 是否取得极值与$k$ 的取值有关．

设有两个正数$x, y, z$ 满足$x + y + z = a$，其中$a > 0$ 为常数，又$xyz \leq b$，则$b$ 的最小取值是

设$f(x) = x \arctan x - \ln \sqrt{1 + x^2}$，则$f(x)$ 的幂级数展开式是

幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{2} 2^{n}} x^{2 n}$ 的收敛域为，和函数$S(x)=$

下列命题

① 设$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$，则$\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = 0$。

② 设$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，则$\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = \infty$。

③ 设$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty$，则$\lim_{x \to x_0} (f(x) - g(x)) = 0$。

④ 设$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty$，则$\lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = +\infty$。

正确的个数为

$$I = \int_0^1 \arcsin x \cdot \arccos x , dx =$$

下列命题中正确的是

设级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 条件收敛，则

在关于级数的如下四个结论中正确的结论是

在如下四个级数

①$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln (n+1)}{n}$,
②$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{2^{n}}$,
③$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}$,
④$\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(n \pi+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$

中，条件收敛的级数是

设级数（1）是$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1} + (-1)^n}$，级数（2）是$\sum_{n=1}^{\infty} \sin(\pi \sqrt{n^2 + 1})$，则

给定下列两个级数：(1)$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n!}$，(2)$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln^3 n}{n^2}$，则下列结论正确的是

函数$f(x) = (x^2 + x - 2) |x^3 - 4x| \cdot \sin |x|$ 的不可导点为$x =$

下列命题中，

(1) 如果矩阵$AB = E$，则$A$ 可逆且$A^{-1} = B$；

(2) 如果$n$ 阶矩阵$A, B$ 满足$(AB)^2 = E$，则$(BA)^2 = E$；

(3) 如果矩阵$A, B$ 均$n$ 阶不可逆，则$A + B$ 必不可逆；

(4) 如果矩阵$A, B$ 均$n$ 阶不可逆，则$AB$ 必不可逆。

正确的是

设$A, B$ 均$n$ 阶矩阵，且$AB = A + B$，则

(1) 若$A$ 可逆，则$B$ 可逆，
(2) 若$B$ 可逆，则$A + B$ 可逆，
(3) 若$B$ 可逆，则$A$ 可逆，
(4)$A - E$ 恒可逆。

上述命题中，正确的命题共有

已知$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是齐次方程组$Ax = 0$ 的基础解系，则$Ax = 0$ 的基础解系还可以是

已知$A$ 是$n$ 阶可逆矩阵，若$A \sim B$，则下列命题中 ①$AB \sim BA$，②$A^2 \sim B^2$，③$A^{-1} \sim B^{-1}$，④$A^\mathrm{T} \sim B^\mathrm{T}$，正确的命题共有

已知$A$ 是三阶矩阵，$r(A) = 1$，则$\lambda = 0$

已知随机变量$X$ 的概率分布为$P\lbrace{}X = k\rbrace{} = \frac{1}{3}(k = 1,2,3)$，当$X = k$ 时随机变量$Y$ 在$(0,k)$上服从均匀分布，即$$ P\lbrace{}Y \leq y \mid X = k\rbrace{} = \begin{cases} 0, & y \leq 0 AsteroidLatexLineBreakToken \frac{y}{k}, & 0 < y < k AsteroidLatexLineBreakToken 1, & k \leq y \end{cases} $$

则$P\lbrace{}Y \leq 2.5\rbrace{} = $ ________.

若$A, B$ 为任意两个随机事件，且满足条件$P(AB) \geqslant \dfrac{P(A) + P(B)}{2}$，则

设随机变量$X$ 的$EX = \mu$,$DX = \sigma^2$ ($\sigma > 0$ 为常数)，则对任意常数$c$ 必有

设随机变量序列$X_1,\cdots,X_n,\cdots$ 相互独立，则根据辛钦大数定律，当$n \to \infty$时，$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$$

依概率收敛于其数学期望，只要随机变量序列$X_1,\cdots,X_n,\cdots$

设两两独立的随机变量$X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 必服从切比雪夫大数定律，如果$X_i, i = 1, 2, \cdots$