660题集

设$a > 0$,$f(x) = g(x) = \begin{cases} a, & 0 \leq x \leq 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$ $D$ 表示全平面，则$\iint_D f(x)g(y - x),dx,dy =$

设有下列命题

① 数列$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 收敛（即存在极限$\lim_{n \to \infty} x_n$），则$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 有界。

② 数列极限$\lim_{n \to \infty} x_n = a \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} x_{n+l} = a$。其中$l$ 为某个确定的正整数。

③ 数列极限$\lim_{n \to \infty} x_n = a \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} x_{2n-1} = \lim_{n \to \infty} x_{2n} = a$。

④ 数列极限$\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在$\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = 1$。

则以上命题中正确的个数是

有以下命题：设$\lim_{x \to a} f(x) = A$，$\lim_{x \to a} g(x)$ 不存在，$\lim_{x \to a} h(x)$ 不存在，

①$\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x))$ 不存在．
②$\lim_{x \to a} (g(x) + h(x))$ 不存在．
③$\lim_{x \to a} (h(x) \cdot g(x))$ 不存在．
④$\lim_{x \to a} (g(x) + f(x))$ 不存在．

则以上命题中正确的个数是

设$\lbrace{}x_n\rbrace{}$与$\lbrace{}y_n\rbrace{}$均无界，$\lbrace{}z_n\rbrace{}$有界，则以下命题正确的是

设$f(x)$ 在$(-1,1)$ 内二阶可导，$f''(0) \neq 0$。$\forall x \in (-1,0) \cup (0,1)$，$\exists \theta(x)$ 介于$0$，$x$之间，且满足$f(x) - f(0) = x f'(\theta(x)x)$，则$\lim_{x \to 0} \theta(x) =$

设$f(x) = \begin{cases} 2 - \cos x, & x \leq 0 \\ \sqrt{x} + 1, & x > 0 \end{cases}$，则

设$\sin x \ln |x|$ 是$f(x)$ 的一个原函数，则不定积分$\int x f'(x) , dx =$

设$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} , dx$,$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} , dx$, 则

关于$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{|x|} \sin 2x , dx$，下列结论正确的是

设$A, B$ 都是不等于零的常数，则微分方程$y'' - 2y' + 5y = e^x \cos 2x$ 有特解

设$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$，则$f(x,y)$ 在点$(0,0)$ 处

函数$f(x,y) = kx^2 + y^3 - 3y$ 在点$(0,1)$ 处