张宇1000题基础篇——高等数学部分

设实数$a \in (0,1)$，数列$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 满足$x_0 = 1$，且对任意正整数$n$，均有$x_n = \dfrac{1}{x_{n-1}} + a$。证明：对任意正整数$n$，有$x_n > 1$。

设$f(x)$ 在$[0,1]$ 上有定义，$f(0) = f(1)$，且对任意$x_1, x_2 \in [0,1]$，均有
$$|f(x_1) - f(x_2)| \leq |x_1 - x_2|.$$
证明：当$a, b \in [0,1]$ 时，$|f(a) - f(b)| \leq \frac{1}{2}$。

设实数$x, y$ 满足$3x^2 + 2y^2 = 6$，求$2x + y$ 的最大值。

函数$f(x) = ax^3 + bx^2 - 2x$ ($a, b \in \mathbb{R}$,$ab \neq 0$) 的图像如图所示，且$x_1 + x_2 < 0$，则有（ ）。

已知等差数列$\lbrace{}a_n\rbrace{}$ 满足$(a_1 + a_2) + (a_2 + a_3) + \cdots + (a_n + a_{n+1}) = 2n(n+1)(n \in \mathbb{N}_+)$. 求：
(1) 数列$\lbrace{}a_n\rbrace{}$ 的通项公式；
(2)数列$\left\lbrace{}\frac{a_n}{2^{n-1}}\right\rbrace{}$ 的前$n$ 项和$S_n$.

已知曲线C的极坐标方程是r=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
$$ \begin{cases} x = 1 + \dfrac{t}{2}, AsteroidLatexLineBreakToken y = 2 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}t \end{cases} \quad (t \text{ 为参数}). $$(2) 设曲线C经过伸缩变换$$ \begin{cases} x' = 3x, AsteroidLatexLineBreakToken y' = y \end{cases} $$
得到曲线$C'$，设曲线$C'$上任一点为$M(x, y)$，求$\dfrac{x}{3} + \sqrt{3}y$的最小值。

设函数$f(x)$ 在$x=1$ 处可导，且$\Delta f(1)$ 是$f(x)$ 在增量为$\Delta x$时的函数值增量，则$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(1) - \mathrm{d}f(1)}{\Delta x} = ( \quad ).$$
(A)$f'(1)$
(B) 1
(C)$\infty$
(D) 0

已知函数$f(x) = x^2(e^x + 5)$，则$f^{(5)}(1)$等于：

曲线$y = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ 的渐近线的条数为 ( ).

设单调递减数列$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 满足$x_{n+1} = 2\ln(1 + x_n)$,$n = 1, 2, \cdots$,$x_1 > a > 0$, 且$a$ 是$x - 2\ln(1 + x) = 0$ 的唯一非零解，证明$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 收敛。

(1) 将$\sin x$ 在$x = 0$ 处展开成一阶带拉格朗日余项的泰勒公式；
(2) 证明$\left|\frac{\sin x}{x} - 1\right| \leq \frac{1}{2}|x|$,$x \neq 0$.

设函数$f(x)$ 在$[a,b]$ 上可导，$c \in (a,b)$，证明：
(1) 存在一点$\xi \in (a,c)$，使得$f(c)-f(a)=f'(\xi)(c-a)$；
(2) 存在一点$\eta \in (a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\eta)(b-a)$ 且$\eta > \xi$。

设函数$g(x)$ 在$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，若在$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内$g'(x) \geq 0$，则对任意的$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，有 (A).

设$f(x)$ 是$(-\infty, +\infty)$ 上可导的奇函数，任意的$x \in (-\infty, +\infty)$，均有$f(x+1) - f(x) = f(1)$，$f\left(\frac{1}{2}\right) = 0$，则以下是偶函数的是

若反常积分$\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)x^{1-p}} , dx$ 收敛，则（ ）。

定积分$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} , dx$ 的值满足

设$M = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left(1 + \frac{x}{1 + x^2}\right) , dx$，$N = \int_0^1 \frac{(1 + x)\ln^2(1 + x)}{x^2} , dx$，$K = \int_0^1 \frac{e^x}{1 + x} , dx$，则（ ）。

(A)$M > N > K$
(B)$N > K > M$
(C)$K > M > N$
(D)$K > N > M$

设$a, b$ 为常数，$\int_0^1 \frac{\ln x}{x^a \left( \tan \frac{\pi}{2} x \right)^b} , dx$ 收敛，则（ ）

下列命题中不成立的是：

若函数$y(x) = \int_{2}^{x^2} e^{-\sqrt{t}} , dt$，则$\left. \frac{d^2[y(x)]}{dx^2} \right|_{x=-1} =$ ( ).
注意：$x < 0$,$\sqrt{x^2} = |x| \neq x$

$\int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}\right)' dx =$

$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{|x|(\arcsin x + \arccos x)}{\sqrt{1 - x^2}} \ dx =$

$\int_{1}^{\frac{3}{2}} \frac{(1-x) \arcsin(1-x)}{\sqrt{2x - x^2}}\ dx$

5. 平面无界区域$D = \lbrace{}(x, y) \mid (1 + x^2)|y| \leq 1\rbrace{}$ 的面积为：

8. 设$f(x)$,$g(x)$ 在$[0,1]$ 上连续，则使得$\int_0^1 f(x)dx \int_0^1 g(x)dx \geq \int_0^1 f(x)g(x)dx$ 成立的条件是在$[0,1]$ 上（ ）。

2. 设函数$f(x)$ 具有二阶导数，$f'(x) > 0, f''(x) < 0$，记$I_1 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin x,dx$，$I_2 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos x,dx$，则（ ）。

证明：$$\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^4} = \int_0^{+\infty} \frac{x^2}{1+x^4} ,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2}}{4} \pi.$$

9. 设$f'(x)$ 在$[a, b]$ 上连续，$f(a) = f(b) = 0$，证明：当$x \in (a, b)$ 时，$$|f(x)| \leqslant \frac{1}{2} \int_a^b |f'(x)| \ dx.$$

10. 设$f'(x)$ 在$[0,1]$ 上连续，且$f(0)=0$，证明：$$\left|\int_0^1 f(x),\mathrm{d}x\right| \leqslant \frac{M}{2},$$
    其中$M = \max_{0 \leqslant x \leqslant 1} |f'(x)|$。

设$f(x) = \int_x^{x+1} \sin u^2 , du$，证明：当$x > 0$ 时，有$|f(x)| \leq \frac{1}{x}$。

设$f\left(x+y, \frac{x}{y}\right)=x^2 - xy + y^2$，则$f_x'(x, y) = $

13. 设函数$f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，函数$g(x, y) = xy - f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$，求
    $$x^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + 2xy \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} + y^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}.$$

已知函数$u(x, y)$ 满足$2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 3\frac{\partial u}{\partial x} + 3\frac{\partial u}{\partial y} = 0$，求$a, b$ 的值使得在变换$u(x, y) = v(x, y)e^{ax+by}$ 之下，上述等式可化为函数$v(x, y)$ 的不含一阶偏导数的等式。

18. 设$f(x, y)$ 在有界闭区域$D$ 上连续，在$D$ 内有一阶偏导数。若$f(x, y)$ 在$D$ 的边界$\partial D$上的值均为 0，且$$\frac{\partial [f(x, y)]}{\partial x} + \frac{\partial [f(x, y)]}{\partial y} = f(x, y),$$
    则$f(x, y)$（　　）

22. 求函数$f(x, y) = x^2 \left(2x^2 - 4y - \frac{1}{7}x^5\right) + y^2$ 的极值。

3.$\lim_{r \to 0} \frac{1}{\pi r^2} \iint_{x^2 + y^2 \leq r^2} e^{x^2 - y^2} \cos(x + y) \ dx dy = ( )$.

设平面区域$D = \lbrace{}(x, y) \mid x + y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0\rbrace{}$，计算$\iint_D \frac{e^{-(x+y)}}{\sqrt{xy}} \ d\sigma$。

$f(x)=\frac{\tan x}{1+x^{2}}$ 在$x=0$ 处的 3 次泰勒多项式为

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} - \sqrt[3]{1+3x}}{\ln(1+x^2)}$

设$x_0 > 0$，$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)$（$n = 0, 1, 2, \cdots$），且$a > 0$，证明$\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在，并求此极限。

若对于数列$\lbrace{}x_n\rbrace{}$，$x_{n+1} = f(x_n)$，$n=1,2,\cdots$，$f(x)$ 可导，$a$ 是$f(x)=x$ 的唯一解，且对任意的$x \in \mathbb{R}$，有$|f'(x)| \leq k < 1$。证明$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 收敛于$a$。

微分方程$y' = (x+1)\sec y - \tan y$ 的通解为

求微分方程$(2x - 3xy^2 - y^3)y' + y^3 = 0$ 的通解

5. 过原点的曲线$y = y(x)$ 满足$\frac{dy}{dx} = (x + y)^2$，则$\lim_{x \to 0^+} [y(x)]^x =$ ______.

8. 某商品的需求函数与供给函数分别为$Q_1 = 39 - 3P - 6P' + P''$，$Q_2 = 99 - 15P + 2P'$，其中$P$ 为价格，初始条件为$P(0) = 8$，$P'(0) = 14$，求当供需平衡时的价格函数$P(x)$。

10. 设$\varphi(x)$ 为连续函数，$|\varphi(x)| \leq k$（$k$ 为常数），求微分方程$$\frac{dy}{dx} + y = \varphi(x)$$ 满足初始条件$y(0) = 0$ 的特解$y(x)$，并证明当$x \geq 0$ 时，有$$ |y(x)| \leq k(1 - e^{-x})。$$

设$p$ 为常数，若级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^p}{n}$ 与$\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{n^p} - \frac{1}{(n+1)^p} \right]$ 均收敛，则（　　）。

以下结论正确的是

设幂级数$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x+1)^n$ 的收敛区间为$(-3,1)$，则$\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x-1)^{2n}$ 的收敛区间为

设函数$f(x)=\frac{x^2-x-1}{x^2(x+1)}$ 的幂级数展开式为$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-1)^n$，$x \in (0,2)$，求$\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n a_n}{\sqrt{n^2+1}}$。