零、引言

本文整理自B站课程《积分大观》。

在考研数学中，积分的地位无可替代。它既是底层基础，又是命题人最爱下功夫挖坑的地方。唯有在积分运算上夯实基本功，做到不出差错，才能真正实现做题时的“又快又准”。

注：课程有将近四个半小时，为了保证笔记的简练与可读性，这里只会记录一些平时所忽视的知识、考点与技巧，过于基础的部分则不再赘述。

一、预备知识

1.立方和/差公式

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

2.和差化积公式（不重要）

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$ $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$ $\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$ $\tan \alpha - \tan \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$

3.反三角关系式（重要）

$\arcsin (-x) = -\arcsin(x) ; \arctan (-x) = -\arctan(x)$

$\arccos x + \arccos (-x) = \pi ; \operatorname{arccot} x + \operatorname{arccot} (-x) = \pi$

$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} \quad (x \in [-1, 1])$

$\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} \quad (x \in \mathbb{R})$

$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & x > 0 \\ -\frac{\pi}{2}, & x < 0 \end{cases}$

4.导积关系

$(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})'=\frac{1}{(\sqrt{1+x^2})^\frac{3}{2}}$

$(\ln(x+\sqrt{1+x^2}))'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$(\ln(sinx))' = \cot(x)；(\ln(cosx))' = -\tan(x)$

$((\cos\theta+\sin\theta)^2)' = 2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)$

二、特殊反常积分

1.泊松积分

$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = \sqrt{2\pi}$

证明思路：由于定积分与自变量所取字母无关，于是我们取待求积分的平方，然后把其中的一个积分字母换成 $y$ ，这样我们就得到了一个二重积分：

$I^{2} = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy = \int\int e^{-(x^2+y^2)}dxdy$ 自然地，我们想到极坐标换元，得到： $I^{2} = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{+\infty} re^{-r^2} dr = 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi$

则有 $I = \sqrt{\pi}$ 。第一个积分计算出来了，第二个只需要换元即可。

2.伽马函数

形如 $\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} dx (\alpha > 0)$ 的积分都叫做 $\Gamma$ 函数，记作 $\Gamma(\alpha)$ 。

主要性质：

① $\Gamma(\alpha + 1) = \Gamma(\alpha)$ ；

② $\Gamma(1) = 1，\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ ；

③对于正整数 $n$ ，有 $\Gamma(n+1) = n!$ 。

其实像前面的泊松积分也可以用还原转化成伽马函数计算。

3.贝塔函数（不重要）

这是伽马函数的延伸。

形如 $\int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1}dx(p,q>0)$ 的积分都叫贝塔函数，记作 $\\Beta(p,q)$ 。并且： $\\Beta(p,q) = \frac{\Gamma(p)\times\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$

这个函数的计算一般是用换元法计算，令 $x=\sin^2\theta$ ，原积分化作： $B(p, q) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta ) d\theta$ 后略。

三、多项式的待定系数法拆分＆混合留数法

当我们碰到分数多项式的时候，有时分母的次数非常大且远大于分子，这个时候我们通常可以采用因式分解来进行拆项，将其分解成多个容易单独积分的式子。不过不是每个式子都容易直接拆解的，这个时候我们要用待定系数法来求解。

1.实操过程

首先，我们要针对分母因式分解之后的项进行待定拆分，对 $n$ 次的因式，就要列出从 $1$ 到 $n$ 次的全部项，同时分子的次数要比分母低一次。再设所有项分子的所有系数为 $A、B、C、D$ ……

一般的做法，是将所有项重新进行通分，结果同原式一一对应得到结果。

不过有更简单的方法——混合留数法。即左右分别乘上各个因式，通过带入特殊值使得其他待定系数全部为 $0$ 从而快速求解。

2.例题

对 $\frac{3x^2+1}{(x-1)(x-2)(x-5)}$ 进行因式分解。

解析：

分析分母，我们可以将原式的待定拆分形式写成：

$\frac{3x^2+1}{(x-1)(x-2)(x-5)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-5}$

左右乘 $(x-1)$ ： $\frac{3x^2+1}{(x-2)(x-5)} = {A} + (\frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-5})(x-1)$ 带入 $x=1$ 得到 $A=1$ 。

左右乘 $(x-2)$ ： $\frac{3x^2+1}{(x-1)(x-5)} =B +( \frac{A}{x-1} + \frac{C}{x-5} )(x-2)$ 带入 $x=2$ 得到 $B=-\frac{13}{3}$ 。

左右乘 $(x-5)$ ： $\frac{3x^2+1}{(x-1)(x-2)} = C + ( \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} )(x-5)$ 带入 $x=5$ 得到 $C=\frac{19}{3}$ 。

于是 $\frac{3x^2+1}{(x-1)(x-2)(x-5)} = \frac{1}{x-1} - \frac{13}{3(x-2)} + \frac{19}{3(x-5)}$

注：这里的情况是分母因式都为1次，比较简单。如果碰到同一个因式的高次项，那么左右同乘并不能解决问题，这个时候我们采用同乘高次项+求导方式解决。因为高次项乘到右边，可以通过求导将同样属于这个因式的系数全部消掉，而 $n$ 次项在求导次数小于 $n$ 的时候，代入零点仍然会使其等于0。

四、一本道公式打法

这里只作记录，不写详细内容。

1.多项式分数——暴力拆项

例题：求 $\int \frac{3x^6+2x^5-16}{x^4-4x^2}dx$ .

2.根号下加比减/减比加

根号下分式——解放分子；根号下乘积——解放其中一个

例题 1：求 $\int \sqrt{\frac{e^x-1}{e^x+1}} dx$ .

例题 2：求 $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}}$ .

五、三角函数高次幂

1.单个连乘

sin/cos：奇数次幂——凑微分；偶数次幂——降幂

csc/sec：奇数次幂——凑微分分部；偶数次幂——凑微分

2.sinx与cosx高次项混合

如果三角函数组成的分式当中分母部分的 $sinx$ 和 $cosx$ 齐次，那么尝试同除 $cosx$ 的 $n$ 次幂

当分母还包含常数时，也可以尝试巧用 $1$ 的等价代换将其转化为上述情况

$1 = \sin^2x+\cos^2x$

$1 = 1^2 = (\sin^2x+\cos^2x)^2 = \sin^4x+\cos^4x+2\sin^2xcos^2x$

例题：求 $\int \frac{1}{1+\cos^2x} dx$

3.三角函数组合积分

形如 $\int \frac{Csinx+Dcosx}{Asinx+Bcosx} dx$ 的积分，统一将分子部分拆成 $E$ 倍的分母+ $F$ 倍的分母导数

注：最好用待定系数法解二元一次方程，这样最无脑

4.sinx、cosx与1组合成完全平方

$1+sinx = \sin^2(\frac{x}{2}) + \cos^2(\frac{x}{2}) + 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = (\sin(\frac{x}{2})+\cos(\frac{x}{2}))^2$

$1+cosx = \sin^2(\frac{x}{2}) + \cos^2(\frac{x}{2}) + \cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2}) = 2\cos^2(\frac{x}{2})$

六、定积分特殊题型

1.对称区间（需要转化）

例题 1：求 $\int_{0}^{4} x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) dx$ （平方差公式）

例题 2：求 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3}\pi} (e^{cosx}-e^{-cosx}) dx$ （诱导公式）

例题 3：求 $\int_{\pi}^{5\pi} (1+\sin^3x)\cos^2x dx$ （周期性）

2.区间再现

一般分子是分母的其中一项就要用区间再现。

令 $t=a+b-x$ ，则： $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{b}^{a} f(a+b-t) d(a+b-t) = \int_{a}^{b} f(a+b-t) d(t) = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} [f(x) + f(a+b-x)] d(x)$

形如 $\int \frac{g(x)}{1+f(x)^{h(x)}} dx$ 的也可以尝试区间再现。

例题 1：求 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+e^{\frac{1}{x}}}$

例题 2：求 $\int_{-1}^{5} \frac{dx}{1+2^{\sqrt[3]{x-2}}}$

还有形如 $\int \ln[f(x)] dx$ ，其中 $f(x)$ 为三角函数的，也可以尝试。

例题 1：求 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln(x)}{a^2+x^2} dx (a>0)$

例题 2：求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(sinx) dx$

3.平均放大倍数（广义去x法）

这是区间再现的二级结论。当 $sinx = \sin(a+b-x)$ 的时候，可以有： $\int_{a}^{b} xf(sinx) dx = \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(sinx) dx$

例题 1：求 $\int_{0}^{\pi} \frac{x}{2+sinx} dx$

例题 2：求 $\int_{0}^{\pi} \frac{x|sinxcosx|}{1+\cos^2x} dx$

实际上，当 $f(a+b-x) = f(x)$ 的时候，我们都可以用区间再现来消去 $x$ ，这就是广义去 $x$ 法。

$\int_{a}^{b} xf(x) dx = \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) dx$

4.相互抵消

这种题当中，一般被积函数都会包含原函数不是初等函数的部分（例如 $\frac{\sin(x)}{x}$ ），这个时候不应该钻牛角尖，而是看看其他部分有没有可能消掉这一块。

例题：求 $\int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sinx + x \ln(x) cosx}{x} dx$

5.不能直接用牛顿-莱布尼茨公式

有些题目积出来的原函数并不在积分区间上绝对连续，可能会有瑕点，这个时候我们应该分段计算反常积分。

例题：求 $\int_{-1}^{1} (\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}})' dx$

6.求变限积分的定积分

常规操作是分部积分让被积函数的 $f(x)$ 变为 $f'(x)$ 然后直接代入。

7.反常积分的特殊题型

考的比较偏，不多赘述。

8.复杂函数凑微分

这一块比较考验对导积关系的熟悉程度，来自平时的联系积累，同样不多赘述。

例题：求 $D$ 上的二重积分 $\int \int e^{(x+y)^2} (x^2-y^2) dxdy$ 其中 $D$ 是圆 $x^2+y^2=1$ 和直线 $y=x$ 以及 $x$ 轴在第一象限围成的部分。