零、导入

在极限相关问题当中，我们经常会用到洛必达法则，这个法则实用性很高，但同时具有很强的局限性。

当$f(x)n$阶可导时，我们一般只能洛到$n-1$阶，并且还要求原极限分数线上下的极限形式相同（0比0型、$\infty$比$\infty$型......）

有时我们会遇到一些综合性比较强的题目，其分母趋近无穷但分子不一定趋近于无穷，这时洛必达法则失效。

不过我们可以运用广义洛必达法则来绕开这一限制。

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一、广义洛必达法则

其与一般的洛必达法则格式相似但略有不同：

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假设当$x \to a$（$a$ 可以是有限数，也可以是$\infty$）时，函数$f(x)$ 和$g(x)$ 满足以下三个条件：

①分母趋于无穷：

$\lim\limits_{x \to a} |g(x)| = +\infty$ （注意：这里对$f(x)$ 的极限没有任何要求，它可以是无穷、常数，甚至振荡发散）。

②可导且导数非零：

在$a$ 的某去心邻域内，$f(x)$ 和$g(x)$ 均可导，且$g'(x) \neq 0$。

③导函数之比的极限存在或趋于无穷：

$$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A 或 \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \pm\infty$$

那么，原函数之比的极限与导函数之比的极限相等：

当导函数之比的极限存在且等于有限实数$A$时，有$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A$$

当导函数之比的极限不存在且趋于无穷时，导函数之比的极限不存在且同样趋于无穷。

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同一般的洛必达法则相比，广义洛必达法则只要求分母趋近于无穷，并没有对分子做出限制，大大拓宽了使用范围。

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二、实例

例题 1

这是张宇1000题强化篇第一章的T34:

设$f(x)$在$(0,\infty)$内可导，$a$为常数，对于以下结论：

①若$\lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = a$，则$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a$；

②若$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a$，则$\lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = a$；

下列说法正确的是（）。

（A）①正确，②错误

（B）①错误，②正确

（C）①与②均正确

（D）①与②均错误

解析：这题严格来说需要用定义法证明，非常复杂。但是在解析部分，编者有批注考生可以用广义洛必达法则来检验正误，不过其并不在考研大纲中。

对①：$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{1} = a$，令$g(x) = x$，有$[g(x)]'=1$，$\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) → +\infty$，那么原函数之比的极限存在，并且$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{1} = a，$$故①正确。

对②：可举$f(x) = \sin(x)$的反例。答案选$A$。

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例题 2

已知函数$f(x)$ 在$(0, +\infty)$ 内可导，且$\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) + f'(x)] = A$（$A$ 为常数）。求证：$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A$。

解析：为了利用已知条件中的$f(x) + f'(x)$，我们需要构造一个分式形式，使得求导后能凑出这个组合。

恒等变形：将原极限改写为：$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)e^x}{e^x}$$

验证广义洛必达法则条件：

分母： 当$x \to +\infty$ 时，分母$g(x) = e^x \to +\infty$。满足广义洛必达法则（$\frac{*}{\infty}$ 型）对分母的要求。

对分子和分母分别求导：

分子：$(f(x)e^x)' = f'(x)e^x + f(x)e^x = e^x[f(x) + f'(x)]$

分母：$(e^x)' = e^x$

求导数比的极限：$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x[f(x) + f'(x)]}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} [f(x) + f'(x)] = A$$根据题目给定条件，该极限存在。

根据广义洛必达法则，原函数之比的极限也必定存在，且等于导数之比的极限：$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)e^x}{e^x} = A \implies \lim_{x \to +\infty} f(x) = A$$证毕。