一、级数的概念和性质

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1.概念锚定

首先要知道的是，无穷级数本身由数列部分和加上极限所定义，本质上是数列极限。

能求和的级数只有两种：①等比级数（几何级数）②可裂项级数

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2.性质

① 线性性（可加）；

② 敛散性同有限项无关，但有限项会影响和的数值；

③ 收敛级数的通项极限趋近于0；

④ 级数加括号会增加收敛 性，去括号减少收敛性，收敛数列的子列一定收敛（甚至可以跳着取）；

⑤ 一个级数收敛不能得出两个级数收敛

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3.常见的收敛级数

① 等比级数

② P级数

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二、正项级数敛散性判定

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1.定义法（一般性方法）

由于$S_{n+1} - S_n = a_{n+1} > 0$，所以数列${S_n}$一定单调递增，其收敛的条件为有界：

正项级数收敛$\Leftrightarrow$ 级数的部分和${S_n}$有界。

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2.柯西积分判别法

对于函数$f(x)$是定义在$[1,+\infty)$并且单调减少的非负连续函数，有正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$与$\int_{1}^{+\infty} f(x) dx$同敛散。
证明：

由绿色部分可以得到$\sum_{n=1}^{\infty} f(n) ≥ \int_{1}^{+\infty} f(x) dx$，而级数的第一项去掉，发现绿色的第二项同蓝色的第一项相等，以此类推相当于将绿色第二项往后的部分向左平移一个单位，得到蓝色部分，则$\sum_{n=2}^{\infty} f(n) ≤ \int_{1}^{+\infty} f(x) dx \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} f(n) ≤ \int_{1}^{+\infty} f(x) dx + f(1)$，

即$\int_{1}^{+\infty} f(x) dx ≤ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) ≤ \int_{1}^{+\infty} f(x) dx + f(1)$，结论得证。

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3.比较判别法及其极限形式（最重要）

无论是一般判别法还是极限形式，都是相当于在比较两个数列的无穷小阶数。其大小意味着趋近于$0$速度的快慢（无穷小阶数），并不是指的绝对数值大小。并且没有收敛的最慢的级数，意味着我们总能找到一个比一个级数收敛更慢的级数。比较判别法对于正项级数具有一般性，但该判别法仅针对正项级数，非正项级数则不一定。

这个方法应对抽象级数比较方便，但面对具体级数，由于其要确切找出例子，故没那么方便，需要采用一些技巧。

① 放缩技巧：$e^x >> x^k >> lnx$，有$lnx < x^{\alpha}$，其中$\alpha$为任意大于$0$的数。

② 等价无穷小替换：可以不管非零因子，并且将复杂的无穷小替换为等价无穷小。并且如果等价后的无穷小必定为正，则等价前的数列一定可以用等价无穷小替换，遇到一些显眼的无穷小通项可以先进行尝试。

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4.比值判别法与根值判别法

对于$\lim\limits_{n → +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = A$ 以及$\lim\limits_{n → +\infty} \sqrt[n]{a_n} = A$，有：

$\begin{cases} A<1，级数收敛， \\ A>1，级数发散， \\ A=1，敛散性不确定. \end{cases}$

比值判别法适合通项有$n!$的数列，根值判别法适合带有$n^n$的数列.

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5.总结

正项级数的敛散性判别法非常成熟。其中定义法与比较判别法拥有一般性，柯西积分判别法、比值判别法和根值判别法没有一般性。遇到正项级数时，可以先对其通项取正无穷的极限以初步判别，看看是否为0，不是则直接发散，是的话则进行后续判别。

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三、一般项级数的敛散性判定

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1.绝对收敛与条件收敛

由于绝对收敛非常强，所以可以尝试对一些级数加绝对值将其变为正项级数，然后用等价无穷小来快速判别其是否为绝对收敛。

①绝对收敛+绝对收敛$\Leftrightarrow$ 绝对收敛：$|a_n + b_n| \leq |a_n| + |b_n|$，而右侧$|a_n|$，$|b_n|$均收敛，故$|a_n + b_n|$收敛，得证；

②绝对收敛+条件收敛$\Leftrightarrow$ 条件收敛：$|b_n| = |a_n + b_n - a_n| \leq |a_n + b_n| + |a_n|$，而左侧$|b_n|$发散，右侧$|a_n|$收敛，故$|a_n + b_n|$发散，得证；

③条件收敛+条件收敛$\Leftrightarrow$ 条件收敛；

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2.交错级数的莱布尼茨判别法

若除去交错项以外的通项在$N$趋近于无穷时，其后面的所有项单调递减且趋近于$0$，则级数收敛。

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3.泰勒定理的应用

将函数用泰勒展开展到余项为$o(\frac{1}{n^m})$，其中$m>1$，然后将除高阶无穷小以外的部分全部放到左边去得到$f(n)$，利用$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f(n) = 0$的有界性知道左侧为收敛，再在内部通过每个泰勒项的敛散性判断被审敛级数的敛散性。

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四、抽象级数的敛散性判定

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1.核心方法

定义法与比较判别法。因为只有这两种方法具有一般性，不过后者强度弱于前者，仅适用于正项级数。那如果我们能够将一个抽象级数换为正项级数就会比较简单，常用方法是加上一个级数（依靠大小关系构造正项级数）或者加绝对值。

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2.常用反例

①$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta}n}$，$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{\alpha} \ln^{\beta}n}$，$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^2 n}$

第一个在$\alpha > 1$或$\alpha = 1 , \beta >1$时收敛，第二个在$\alpha > 0$或$\alpha = 0 , \beta > 0$时收敛；

② 分子列$a_n = \begin{cases} \frac{1}{n} , n=k^2 \\ \frac{1}{n^2} , 其他 \end{cases}$

它是一个收敛的级数，但其部分子列来自于发散正项级数；

③ 分奇偶$a_n = \begin{cases} \frac{1}{n} , n为偶 \\ \frac{1}{n^2} , n为奇 \end{cases}$

它是一个发散的级数，但其部分子列来自于收敛正项级数；

④ 通项不趋于0；

⑤$\sum \frac{1}{n \ln n} \Rightarrow \sum \frac{1}{n \ln n \ln(\ln n)} ......$

可以无限逼近收敛发散的界限，注意，对于正项级数，没有最小的发散级数，也没有最大的收敛级数，我们对于一个收敛级数一定能找到比其大的收敛级数，对于一个发散级数一定能找到比其小的发散级数，从而确保比较判别法的可用性。

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3.常见抽象级数的敛散性判定

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① 级数为一般项级数

注意例$1$到$8$共用反例并且条件为正项时全部正确。

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② 级数为正项级数

前文提到的八个结论在正项级数前提下都小于题目给出的正项收敛级数。

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③ 小技巧

如果待证结论中出现正项抽象发散级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 恒大于某个正项发散级数，则一定为错，因为这意味着大于的这个级数是发散级数当中最小的，但是我们总是能找到比一个已知发散级数更小，趋近速度更快，但是仍然发散的级数，所以错误。

反之则反，对所有正项收敛级数总能找到一个比其更大的正项收敛级数，所以不存在正项抽象收敛级数一定小于某个收敛级数。

$$\frac{1}{\sqrt{n}} \\gg \frac{1}{n} \\gg \frac{1}{n \ln n} \\gg \leftarrow 发散 | 收敛 \rightarrow \\gg \frac{1}{n \ln^2 n} \\gg \frac{1}{n^{1.1}} \\gg \frac{1}{n^2}$$

这里发散和收敛的界限模糊，永远找不到分水岭。

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④ 定理相关

注意我们的判别法当中，仅有定义法是具有完全一般性的，除此之外比较判别法对于正项级数具有一般性，这两个判别法得出的是充要条件，是可以逆运用的。其他的判别法全都只能得出充分条件，一概不能认为其逆运用一定存在。

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⑤ 括号/子列相关

$d$项告诉我们只要一个交错级数满足莱布尼茨判别法条件，那么其两两加括号一定绝对收敛，故条件收敛的级数两两加括号不一定还是条件收敛。

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4. 绝对收敛和条件收敛的区别

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绝对收敛加括号一定绝对收敛，条件收敛加括号可能条件收敛可能绝对收敛。

首先，对于绝对收敛，其正项和与负项和均收敛；对于条件收敛，其正项和与负向和均发散，但是都是对方的同阶无穷大并且比值为$1$，这就是为什么两个发散的加到一起变成收敛级数了 。

要学会拼凑并利用绝对值放缩。

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5.数列通项乘积的敛散性判定

设${a_n}$有界，且${b_n}$绝对收敛，那么一定有$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$绝对收敛。

类似的有绝对收敛$\times$条件/绝对收敛 = 绝对收敛；

这种题目比较刻意，要有肌肉记忆，注意正值数列有界可以转化为两项差的级数收敛。

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五、幂级数

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1.前言

虽然数三不考察幂级数以外的函数项级数，但是我们还是要知道函数项级数的本质。我们在考察其收敛域时，是采取逐点考察的方式来依次代入数轴上每一个点，将函数项级数变为数项级数，考察这个数项级数是否收敛。所以我们才可以在函数项级数中借用数项级数性质。

收敛域的定义：对于任意$x_0 \in D$，如果有：$$S(x) = \lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} u_k(x) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n(x)，$$那么我们称级数$\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x)$ 逐点收敛于$S(x)$，$D$就是收敛域。

带入值$x_0$之后，我们就可以用考察数项级数的方法来考察其在收敛时，$x_0$应满足什么条件，以此得到收敛域的信息。注意：虽然数项级数同前有限项无关，但是函数项级数的收敛域同函数有关，例如若函数$f(x)$为$lnx$，那么$x$一定大于0。

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2.求收敛域

注意：收敛域和收敛区间是不一样的概念，收敛域 = 收敛区间 + 收敛端点，求出了收敛半径自动得到收敛区间，再考察端点处的敛散性即可得到收敛域。 幂级数在收敛区间内绝对收敛，在收敛端点处条件收敛。

以下是求出幂级数收敛域的一般性方法：

① 给幂级数套上绝对值，求出所有绝对收敛的点（一般用比值判别法或根值判别法）；

② 判定区间端点的敛散性

课本给出的区间半径求法使用的是比值/根值判别法，不具有一般性，但非常实用快速。

对于幂级数之和的收敛半径：

可以利用数轴辅助理解。

对幂级数作积分或求导，收敛半径不变。

要学会分离奇数项与偶数项以及正数项和负数项之和。

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3.可导性与可积性

要注意求导时$n$的起始数字，如果出现项的湮灭就要仔细观察。

并且求导与积分只能在收敛区间内进行。

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4.求和函数

原理就是等比级数。

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5.常见函数的幂级数展开