张宇1000题强化篇——高等数学部分

$f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} n^x \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n - e\right]$ 在$x=1$ 处

设函数$f(x)$ 在点$x = 0$ 的某一邻域内可导，且$f(0) = 0$，$f'(0) \neq 0$，求
$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^2} f(t) \ dt}{x^2 \int_0^x f(t) \ dt}.$$

函数$f(x)$ 在$x=0$ 的某邻域内有定义，则 “$\lim\limits_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在” 是 “$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$” 的 ().

已知$\lim\limits_{x \to 0} \left[ a \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} + (1 + |x|)^{\frac{1}{x}} \right]$ 存在，求$a$ 的值。

设函数$f(x) = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ 在$x=0$ 处的 2 次泰勒多项式为$a + bx + cx^2$，则（ ）。

设$f(x)$ 在$(0,+\infty)$ 内可导，$a$ 为常数。对于以下结论：

① 若$\lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = a$，则$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a$；

② 若$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a$，则$\lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = a$。

下列说法中正确的是（　　）。

$f(x)=\frac{|\ln |x||}{x^{2}-1}$ 有( ).

设$f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{x^{n+1} + (\cos \pi x + 1) \sin \alpha x}{x^n + (\cos \pi x + 1)}$，为使$f(x)$ 对于一切$x$ 都连续，求常数$\alpha$ 的最小正值。

若$\lbrace{}x_n\rbrace{}, \lbrace{}y_n\rbrace{}$ 满足$\lim_{n \to \infty} x_n y_n = \infty$，则以下结论：

①$\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$ 或$\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$；

②$\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$ 且$\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$；

③$x_n$ 与$y_n$ 中一个是无穷大量，另一个是无界量；

④ 当$x_n$ 是非零无穷小量时，$\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$。

正确结论的个数为（　　）。

设数列$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 满足$0 < x_n < \frac{\pi}{2}$,$\cos x_{n+1} - x_{n+1} = \cos x_n$,$n = 1, 2, \cdots$.

(1) 证明$\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在并求其值；

(2) 计算$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n^2}$.

已知$f(x)$ 可导，且$|f'(x)| \leq \frac{1}{e}$，方程$f(x) = x$ 有唯一解$x = 0$，又$x_{n+1} = f(x_n) \neq 0$，$n = 1, 2, \cdots$。证明：当$n \to \infty$ 时，$x_n$ 是$e^{-\frac{n}{2}}$ 的高阶无穷小。

3. 设$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac{t}{x}, & x\ne 0,AsteroidLatexLineBreakToken0, & x=0,\end{cases}$ 其中$t$ 为非零常数，则$f(x)$ 在$x=0$ 处（ ）.

4. 设函数$f(x)$ 在区间$(-1,1)$ 内有定义，且在点$x=0$ 处连续，则以下结论：

① 当$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}} = 0$ 时，$f(x)$ 在点$x=0$ 处可导；

② 当$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 0$ 时，$f(x)$ 在点$x=0$ 处可导；

③ 当$f(x)$ 在点$x=0$ 处可导时，$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}} = 0$。

所有正确结论的序号为（ ）。

设$f(x)$ 在$x = a$ 处可导，则$|f(x)|$ 在$x = a$ 处不可导的充分必要条件是（ ）。

16. 设$f(x)$ 在$x = a$ 的某邻域内有定义，在$x = a$ 的某去心邻域内可导，下述论断正确的是（ ）。

设$f(x) = \ln(1 + x + x^2)$，则$f^{(5)}(0) = $ ________.

设$f(x) = \frac{1 + x + x^2}{1 - x + x^2}$，则$f^{(4)}(0) =$ ________.

设函数$f(x)$ 在$x=2$的某邻域内连续，且有$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left[f(x+2) + e^{x^2}\right]}{1 - \cos x} = 4,$$
则$x=2$ 是$f(x)$ 的（　　）．

设$y = \tan^n x$ 在$x = \frac{\pi}{4}$ 处的切线在$x$ 轴上的截距为$x_n$，则$\lim_{n \to \infty} y(x_n) =$ ________．

过曲线$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ ($x > 0, y > 0$) 任意点作该曲线的切线，切线夹在两坐标轴之间的部分为$L$，求$L$ 的最小长度，以及$L$ 的长度达到最小时的切点坐标。

设$e^{ax} \geq 1 + x$ 对任意实数$x$ 均成立，则$a$ 的取值范围为 __________.

设函数$f(x)$ 在$x=0$ 的某邻域内有定义，则以下结论正确的是（ ）。

曲线$r(3\theta - \pi) = 1$ 的斜渐近线为（　　）．

设$f'(x)$ 在$[0, 1]$ 上单调增加，$f(0)=f'(0)=0$，则在$[0, 1]$ 上（ ）

设函数$f(x), g(x)$ 在$[a, b]$ 上连续，在$(a, b)$ 内可导，$g'(x) > 0$，则在$(a, b)$ 上，“$\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 严格单调递增”是“$\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)}$ 严格单调递增”的（ ）

确定常数$k$ 的取值范围，使方程$x - \arctan x = kx^3$ 在$(0, 1]$ 内有实根。

设$f(x) > 0$，$f''(x)$ 存在且$f''(x) \leq 0$，$x \in [0, +\infty)$。证明：对于任意$x \in [0, +\infty)$，$f'(x) \geq 0$。

设函数$f(x)$ 在$[0,1]$ 上二阶可导，且$\int_0^1 f(x) , dx = 0$，则（　　）．

设函数$f(x)$ 在$[0,1]$ 上连续且$f(0) = f(1) = 0$，在$(0,1)$ 内二阶可导且$f''(x) < 0$，记$M = \max_{0 \leq x \leq 1} \lbrace{}f(x)\rbrace{}$。

(1) 证明对任意正整数$n$，存在唯一的$x_n \in (0,1)$，使得$f'(x_n) = \frac{M}{n}$；

(2) 对 (1) 中得到的$\lbrace{}x_n\rbrace{}$，证明$\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在，且$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = M$。

设$f(x)$ 在$[0,1]$ 上二阶可导，$|f''(x)| \leq M$,$x \in [0,1]$,$M > 0$,$f(0) = f(1) = 0$. 证明：

(1)$|f'(x)| \leq \dfrac{M}{2}$,$x \in [0,1]$;

(2) 若$f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$, 则$|f'(x)| < \dfrac{M}{2}$,$x \in [0,1]$.

设$f(x) = \int_0^x e^{t^2} , dt$,$x \geq 0$.

(1) 证明$\int_0^x e^{t^2} , dt = x f'\left[ x \cdot \theta(x) \right]$，且$\theta(x)$ 唯一，其中$0 < \theta(x) < 1$,$x > 0$；

(2) 求$\lim_{x \to 0^+} \theta(x)$.

设$f(x)$ 在$(-\infty, +\infty)$ 上二阶可导，且$f''(x) \geq 0$。证明：

(1) 对于任意$x_0, x \in (-\infty, +\infty)$，有
$$f(x) \geq f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0);$$

(2) 若存在常数$M > 0$，使得任意$x \in (-\infty, +\infty)$，均有$|f(x)| \leq M$，则$f(x)$ 为常值函数。

设$f(x)$ 在$(0,+\infty)$ 内可导，对于以下结论：

① 若$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在，$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在，则$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$；

② 若$\lim_{x \to +\infty} [f(x) + f'(x)]$ 存在，则$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$。

正确的说法是（　　）。

设函数$f(x)$ 在$[0,+\infty)$ 上可导．

(1) 若$f(0)=\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$，求证：存在$\xi \in (0,+\infty)$，使$f'(\xi)=0$；

(2) 若$0 \leqslant f(x) \leqslant \ln \frac{2x+1}{x+\sqrt{1+x^2}}$，求证：存在$\xi \in (0,+\infty)$，使$f'(\xi)=\frac{2}{2\xi+1}-\frac{1}{\sqrt{1+\xi^2}}$．

设方程$\frac{\tan x}{x} = k$ 在$\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 内有实根，则常数$k$ 的取值范围为（ ）。

设$f(x)$ 在区间$[0,1]$ 上可导，$f(0)=0$，$f(1)=1$，且$f(x)$ 不恒等于$x$．证明：存在$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi)>1$．

设$f(x)$ 在$(0,+\infty)$ 内可导，对于以下结论：

① 若$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在，则$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在；

② 若$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在，则$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在；

③ 若$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = a \neq 0$，则$f(x)$ 在$x \to +\infty$ 时无界；

④ 若$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$，则$f(x)$ 在$x \to +\infty$ 时有界。

正确的个数为（　　）。

设$f(x)$ 在$[2, 4]$ 上一阶可导且$f'(x) \geq M > 0$，$f(2) > 0$。证明：

(1) 对任意的$x \in [3, 4]$，均有$f(x) > M$；

(2) 存在$\xi \in (3, 4)$，使得$f(\xi) > M \cdot \dfrac{e^{\xi - 3}}{e - 1}$。

计算$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1 - \cos \frac{\pi}{\sqrt{n}}}{1 + \cos \frac{i\pi}{2n}}$

设$I_1 = \int_0^{\sqrt{2\pi}} \sin x^2 , dx$，$I_2 = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \sin x}$，则（　　）．

设常数$m > 0$，$n > 0$，则$\int_0^n \sqrt{x} \left[ \frac{m}{x} \right] , dx$（$[\cdot]$ 是取整符号）的敛散性（　　）．

设$p$，$q$ 为正常数，若$\int_0^1 \frac{1}{x^p |\ln x|^q} , dx$ 收敛，则（　　）。

设非负函数$f(x)$ 在$[0,+\infty)$ 上具有有界导数，给出以下四个命题：
① 若$\int_0^{+\infty} f^2(x),\mathrm{d}x$ 收敛，则$\int_0^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$ 收敛；
② 若$\int_0^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$ 收敛，则$\int_0^{+\infty} f^2(x),\mathrm{d}x$ 收敛；
③ 若$\lim_{x\to+\infty} x^2 f(x)$ 存在，则$\int_0^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$ 收敛；
④ 若$\int_0^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$ 收敛，则$\lim_{x\to+\infty} x^2 f(x)$ 存在。
其中，真命题的个数为（ ）。

下列反常积分中发散的是（ ）。

已知$f'(x) = \arctan(x-1)^2$，$f(0) = 0$，则$\int_0^1 f(x) , dx =$

曲线$r = 2\cos 3\theta \left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{6}\right)$ 与$\theta = 0$ 及$\theta = \frac{\pi}{6}$ 所围图形面积为

求曲线$y = e^{-\frac{x}{2}} \sqrt{\sin x} \ (x \geq 0)$ 绕$x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积。

设曲线$y = ax^2$ ($x \geq 0$，常数$a > 0$) 与曲线$y = 1 - x^2$ 交于点$A$，过坐标原点$O$ 和点$A$ 的直线与曲线$y = ax^2$ 围成一平面图形$D$。
(1) 求$D$ 绕$x$ 轴旋转一周所成的旋转体体积$V(a)$；
(2) 求使$V(a)$ 为最大值时$a$ 的值。

设函数$f(x)$ 在$[0,1]$ 上连续，在$(0,1)$ 内可导，且满足$xf'(x) = f(x) + x^2$。已知曲线$y = f(x)$ 与$x = 0$，$x = 1$，$y = 0$ 所围的图形$S$ 面积为 2。求$f(x)$ 的表达式，以及图形$S$ 绕$x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

设函数$y = f(x)$ 满足微分方程$y' + y = \dfrac{e^{-x} \cos x}{2\sqrt{\sin x}}$，且$f(\pi) = 0$，求曲线$y = f(x)\ (x \geq 0)$ 绕$x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

设$f(x)$ 在$(-\infty, +\infty)$内非负连续，且$$\int_0^x t f(x^2) f(x^2 - t^2) , dt = \sin^2 x^2,$$
求$f(x)$ 在$[0, \pi]$ 上的平均值。

已知函数$f(x)$,$g(x)$ 分别满足$f'(x) = 2\sqrt{f(x)}$,$g'(x) = \dfrac{g(x)}{x-2} + \dfrac{x-2}{x}$,$f(0) = 1$,$g(1) = 0$.

求曲线$f(x) + g(y) = 0$ 所围图形绕直线$x = -1$ 旋转一周所成旋转体体积.

曲线$y=\sqrt{x}$ 与$y=x^2$ 所围平面有界区域绕直线$y=x$ 旋转一周所得旋转体的体积为 __________。

设$f(x)$ 是$[0,1]$ 上的可导函数，$f(0)=f(1)=1$，$\max\limits_{0 \leq x \leq 1} \left\lbrace{} |f'(x)| \right\rbrace{} = 1$，则（ ）。

(A)$\frac{1}{4} < \int_0^1 f(x),\mathrm{d}x < \frac{1}{2}$

(B)$\frac{1}{2} < \int_0^1 f(x),\mathrm{d}x < \frac{3}{4}$

(C)$\frac{3}{4} < \int_0^1 f(x),\mathrm{d}x < \frac{5}{4}$

(D)$\frac{5}{4} < \int_0^1 f(x),\mathrm{d}x < \frac{7}{4}$

设$f(x)$ 在$[a, b]$ 上可导，且$f'(x)$ 连续，$f(a) = 0$。证明：
$$\int_a^b f^2(x),dx \leqslant \frac{(b-a)^2}{2} \int_a^b [f'(x)]^2,dx.$$

设$f(x)$ 在$\left[0, \frac{3}{2}\pi\right]$ 上连续，在$\left(0, \frac{3}{2}\pi\right)$ 内是函数$\frac{\sin x}{x}$ 的一个原函数，$f(0)=0$.
(1) 证明$f\left(\frac{3}{2}\pi\right) > 0$；
(2) 求方程$\int_1^x \frac{\sin t}{t} dt = \ln x^2$ 的实根个数.

设$f(x)$ 是$[0,1]$ 上单调增加的连续函数，则（ ）.

若$f(x, y)$ 在点$(0, 0)$ 处的某个邻域内有定义，$f(0, 0) = 0$，且
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x, y) - \sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}} = a,$$
其中$a$ 为常数。

(1) 讨论函数$f(x, y)$ 在点$(0, 0)$ 处的连续性。

(2) 当$a$ 为何值时，函数$f(x, y)$ 在点$(0, 0)$ 处可微？并求$\mathrm{d}f\big|_{(0,0)}$。

设函数$z = f(x, y)$ ($xy \ne 0$) 满足$f\left(xy, \frac{y}{x}\right) = y^2(x^2 - 1)$，则$dz =$

设$z = z(x, y)$ 是由$z + e^z = xy$所确定的二元函数，则$$\left. \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \right|_{z=0} =$$

函数$f(x, y) = x^2 + y^2$ 在约束条件$(x - 1)^3 = y^2$ 下（　　）．

$f(x, y)=x^{4}+y^{4}-(x+y)^{2}$ 有（ ）．

设函数$u = u(x, y)$ 在区域$D = \left\lbrace{}(x, y) \mid 2x^2 + 3y^2 \leq 4\right\rbrace{}$ 上连续，在区域$D$的内部有二阶连续偏导数，且满足$$-2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 3 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = u^2.$$
在区域$D$ 的边界$2x^2 + 3y^2 = 4$ 上$u(x, y) \geq 0$。

证明：当$2x^2 + 3y^2 \leq 4$ 时，$u(x, y) \geq 0$。

设$z = z(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且$z = z(x - y, x + 2y)$满足$$2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y},\quad \frac{d[z(0,v)]}{dv} = \frac{1}{3}z(0,v) + e^{\frac{v}{3}},\quad z(u,0) = \sin u.$$

(1) 证明$\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\partial z}{\partial u}$；

(2) 求$z = z(u, v)$ 的表达式。

设$f(x,y) = \begin{cases} \left(y - e^{-\frac{1}{x^2}}\right)\left(y - 3e^{-\frac{1}{x^2}}\right), & x \neq 0, AsteroidLatexLineBreakToken y^2, & x = 0, \end{cases}$ 则点$(0,0)$（　　）。

设$f(x, y) = 3x + 4y - ax^2 - 2ay^2 - 2bxy$。当$a$，$b$ 满足何种条件时，$f(x, y)$ 有唯一的极大值，并说明理由。

设$D = \lbrace{}(x, y) \mid x + y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0\rbrace{}$，求函数$f(x, y) = 2x^3 + 2y^3 - 6x - 6y + 5$ 在区域$D$ 上的最大值与最小值。

求曲线$x^2 - xy + y^2 = 1$ ($x > 0$,$y > 0$) 上的一点$P$，使该点处的切线与$x$ 轴，$y$ 轴在第一象限所围的图形的面积最小。

设函数$u = xz + ay^3 \quad (z \ge 0)$，且$x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
(1) 当$a = \frac{1}{3}$ 时，求$u$ 的最大值.
(2) 当$a = t$ ($t$ 为变量) 时，$u$ 是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由.

设曲线$L_1: x^2 + y^2 = 2y$ 内切于曲线$L_2: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a, b > 0)$，求$a, b$ 的值，使$L_2$ 所围面积最小.

$$\int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt{y}}^{1}\sqrt{x^{4}-y^{2}}dx=$$

设$f(x, y)$ 在$D = \lbrace{}(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 1\rbrace{}$ 上连续，$f(x, y) = e^{x^2 + y^2} - \iint_D \frac{(2x^2 + 1)f(x, y)}{x^2 + y^2 + 1} , dx dy$，求$\iint_D f(x, y) , dx dy$。

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{(n+i)\sqrt{n^2 + j^2}} =$$

设$f(x)$ 是$[0,1]$ 上的连续函数且其在$[0,1]$ 上的平均值$\overline{f} = \frac{1}{2}$，满足$f(x) + a \int_1^x f(y)f(y-x),\mathrm{d}y = 1$，求常数$a$ 的值。

设$I_1 = \iint\limits_{\substack{0 \leqslant x \leqslant 1 AsteroidLatexLineBreakToken 0 \leqslant y \leqslant 1}} (\sin x^2 + \cos y^2) , d\sigma$，$I_2 = \iint\limits_{|x| + |y| \leqslant \frac{1}{2}} \left[2 + \ln\left(\sqrt{x^2 + y^2} + \frac{1}{2}\right)\right] d\sigma$，则（ ）。

设有界区域$D$ 是由圆$x^2 + y^2 = 1$ 和直线$y = x$ 以及$x$轴所围成的在第一象限的图形，计算二重积分$$\iint_D e^{(x+y)^2} (x^2 - y^2) , dx , dy.$$

设$D = \left\lbrace{}(x, y) \mid 4x^2 + y^2 < 1, x \geq 0, y \geq 0\right\rbrace{}$，则积分$I = \iint_D (1 - 12x^2 - y^2) , dx,dy =$

设平面区域$D = \lbrace{}(x, y) \mid 2x^2 + y^2 \le 2\sqrt{x^2+y^2}, y \ge x \ge 0\rbrace{}$，若$\iint_D \frac{f(x,y)}{\sqrt{1-x^2}} d\sigma = a > 0$，$f(x,y)$ 是$D$ 上的连续函数。
(1) 计算$\iint_D \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d\sigma$；
(2) 证明：存在$(\xi, \eta) \in D$，使得$|f(\xi, \eta)| \ge \frac{\sqrt{2}}{\pi} a$。

若函数$f(x)$ 满足关系式$f'(x) + af(x) = \int_x^0 f(t),dt$，$a > 0$，求$\int_0^{+\infty} f(x),dx$。

$\Delta y_{x}=x^{2}$ 满足$y_{0}=1$ 的解为

若二阶常系数齐次微分方程$y'' + ay' + by = 0$ 的解在$(-\infty, +\infty)$ 上均有周期性，则（　）。

(A)$a < 0$,$b < 0$
(B)$a > 0$,$b > 0$
(C)$a = 0$,$b < 0$
(D)$a = 0$,$b > 0$

某商品的收益$R$ 关于需求量$x$ 的增长率等于收益 4 次方的 2 倍减去需求量的立方再除以需求量与收益立方之积的 4 倍，且当$x = 10$ 时，$R = 0$，确定收益$R$ 与需求量$x$ 之间的关系。

设$f(x)$ 在$[0,+\infty)$ 上连续且有水平渐近线$y = b \neq 0$，则（　　）

(A) 当$a > 0$ 时，$y' + ay = f(x)$ 的任意解都满足$\lim_{x \to +\infty} y(x) = \frac{b}{a}$

(B) 当$a > 0$ 时，$y' + ay = f(x)$ 的任意解都满足$\lim_{x \to +\infty} y(x) = \frac{a}{b}$

(C) 当$a < 0$ 时，$y' + ay = f(x)$ 的任意解都满足$\lim_{x \to +\infty} y(x) = \frac{b}{a}$

(D) 当$a < 0$ 时，$y' + ay = f(x)$ 的任意解都满足$\lim_{x \to +\infty} y(x) = \frac{a}{b}$

设函数$f(x)$ 在$(0,+\infty)$ 内可导，对任意的$s > 0$,$t > 0$，均有
$$\int_1^{st} f(x),\mathrm{d}x + \ln t^s + \ln s^t = \int_1^t \left[ sf(x) + \frac{1}{x} \right],\mathrm{d}x + \int_1^s \left[ tf(x) + \frac{1}{x} \right],\mathrm{d}x$$
成立，且$f(1) = 2$，求$f(x)$ 的表达式。

设$f(u, v)$ 具有连续偏导数，且满足$f_u'(u, v) + f_v'(u, v) = uv$，则函数$y = e^{-2x} f(x, x)$ 满足条件$y|_{x=0} = 1$ 的表达式为

设$u(x,y) = f(x) + g(y)$具有二阶连续偏导数，且满足$$\left[1+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + \left[1+\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\right]\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.$$
又已知$f''(x) \neq 0$，求$u = u(x,y)$ 的表达式。

每一个解$y = y(x)$ 都满足$\lim_{x \to +\infty} y(x) = 0$ 的微分方程是（　　）。
(A)$y' + \dfrac{y}{\sqrt{1 + x^3}} = 0$
(B)$y' - \dfrac{y}{\sqrt{1 + x^3}} = 0$
(C)$y' + \dfrac{y}{\sqrt[4]{1 + x^3}} = 0$
(D)$y' - \dfrac{y}{\sqrt[4]{1 + x^3}} = 0$

将以$y = y(x)$ 为未知函数的微分方程$y'' + (x + e^y + \sin y)(y')^3 = 0$ 化为以$x = x(y)$ 为未知函数的形式，并求其通解。

设$y = y_1(x)$ 是$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ 的一个非零特解。
(1) 证明$y_2(x) = y_1(x) \int \frac{1}{y_1^2(x)} e^{-\int P(x),dx} , dx$ 是与$y_1(x)$ 线性无关的另一个特解；
(2) 求$y'' - \frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y = 0$ 的通解，其中$y = x$ 是方程的一个解。

设数列$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 满足$x_{n+1} = \dfrac{a + x_n}{1 + x_n}$，$0 < a < 1$，$x_1 \geq 0$。

(1) 证明$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n+1} - x_n)$ 绝对收敛；

(2) 求$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}(x_{i+1} - x_i)$。

设常数项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，$r$ 是实数，则（ ）。

设$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，$\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 的收敛半径均为$r(0 < r < +\infty)$，则以下级数的收敛半径仍为$r$ 的是（　　）．

若级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^{p}}$ 条件收敛，则$p$ 的取值范围为（ ）。

设数列$\lbrace{}a_n\rbrace{}$ 满足$a_1 = 1$，$(n+1)a_{n+1} = \left(n + \frac{1}{2}\right)a_n$，证明：当$|x| < 1$ 时，幂级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 收敛，并求其和函数。

当$|x|<1$时，$\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)x^n=$（　　）．

设曲线$y = x^{\frac{1}{n}}$ 与其在点$(1,1)$ 处的切线和$y$ 轴所围成的平面图形的面积为$a_n$，其中$n = 2, 3, \cdots$。

(1) 求$a_n$ 的表达式；

(2) 求幂级数$\sum_{n=2}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛域与和函数$S(x)$。

已知$\ln \left| \frac{x+2}{x-1} \right| - \frac{1}{(1+x)^2} + 1 = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n , (-1 < x < 1)$，求$a_n$。

已知函数$f(x)$ 满足$f''(x) + f'(x) = 0$ 及$f''(x) + 2f'(x) + f(x) = -1$，且$f(0) = 0$。
(1) 求$f(x)$ 的表达式；
(2) 设$a > 0$，级数$\sum_{n=2}^{\infty} f(n^{-a} \ln n)$ 收敛，求$a$ 的取值范围。

若级数$\sum_{n=1}^{\infty}|u_n v_n|$ 发散，则（　　）．

设数列$\lbrace{}a_n\rbrace{}, \lbrace{}b_n\rbrace{}$ 满足$e^{a_n} - e^{-a_n} = a_n(e^{b_n} + e^{-b_n})$，$0 < a_n < 1$，$0 < b_n < 1$，$n=1,2,\cdots$，且$\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛。
证明：
(1)$a_n > b_n, \quad n=1,2,\cdots$;
(2)$\sum_{n=1}^\infty (b_n - a_n)$ 收敛。