一、微积分

专题1 求极限及极限式中的参数

极限是三大运算之一，应该力求熟练。

以上两题属于$\infty - \infty$型极限，分别要用提取无穷大公因子法和通分法来做，它们是解决这一类问题的基本方法。

注意$e^{\frac{1}{x}}$在$0$处左右极限的不同。

这题最好的方法是提取因式然后泰勒展开，这是绝对万能的方法。

将数列和转化为某个定积分对应的积分和，从而通过计算定积分得出要求的极限。不过这题并不能直接看成积分和，而是要绕一个弯，与极限存在的夹逼准则联合起来，一般用积分和$T_n$以及$\frac{n}{n+1}T_n$夹逼$S_n$。

专题2 无穷小及其阶

本题当中的极限虽然是$\frac{0}{0}$型未定式，但是对其直接用洛必达却无法简洁地得出结果，此时可以采取构造函数法简化极限形式。

专题4 导数的概念及其在几何、经济上的应用

只要遇到这种$x$、$y$揉到一起的情况，尤其是其他的条件同导数相关时，求函数优先考虑配凑导数的极限形式，以转换成微分方程求解。

专题5 各种函数的求导法

这里没有什么难的，只是有两个技巧需要注意：
$①$为简化计算，应注意用与原方程式等价但形式较简单的方程代替原方程计算隐函数的导数；

$②$若干个需要加强记忆的求导法则：

$(\ln|x|)'=\frac{1}{x}$；$\sin^{(n)}(ax+b) = a^n \sin(ax+b+\frac{n\pi}{2})$；$\cos^{(n)}(ax+b) = a^n \cos(ax+b+\frac{n\pi}{2})$

专题6 用导数研究函数的性态

关于这一专题，专门有一篇笔记讲述单调性的定义细节，可以自行查阅。

在研究极值点、单调性、凹凸性等同导数相关的性质时，如果题目没有提到函数若干阶可导，千万不能妄下定论，去找那些比较靠谱的结论进行排除。

专题7 不等式的证明

主要提醒一个常用方法：利用曲线的凹凸性得出曲线同割线、切线的上下关系，从而得到函数同割线、切线的大小关系，证明一般用设函数或者泰勒公式的方法得出。

遇到同时给出在同一点两个不同阶数的导函数值要我们证明不等式时，可以先尝试泰勒展开，不过这题的隐含条件非常难求，需要积累。

专题8 函数与导函数零点存在性定理

一般来说，判定一点导数值等于$0$常用罗尔定理，大于$0$常用拉格朗日中值定理。

两点函数值相等时，我们当然会应用罗尔定理，但是当两端函数值不同时，我们要学会寻找中间值强行构造出一个与端点函数值相等的点及辅助区间。

出现三中值时，不要想着一步中值定理就完成证明，要尝试拆分为不同的中值条件，并且这里没有提到三个中值不同，区间选取自然更加自由。

专题9 泰勒公式及其应用

这里展示了一种泰勒公式的特殊展开方式：让$f(x+1)$、$f(x-1)$分别在$x$处展开，利用正负$1$的$n$次方性质得到纯净不被影响的若干阶导函数关系，我们在做题时也应该灵活应用。

专题12 反常积分

反常积分$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$收敛的充要条件是存在常数$a$，使得两个反常积分$\int_{-\infty}^{a} f(x) dx$和$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$都收敛，这是我们对这一类反常积分敛散性判断的入手点。只要找到一个点，分开反常积分后有发散积分，则原积分发散；若两个都收敛，则原积分收敛。

这个结论可以推广到任意区间，只要开区间内部没有瑕点即可。

专题19 讨论二元函数在某点的可偏导性与可微性

对于可偏导性，一般采用定义法或者直接求偏导法，注意后者面对无定义点时需要专门求特定点值。

对于可微性，最优先的方法一定是通过充分条件与必要条件来判断：如果其偏导连续，则一定可微；如果其不连续或不可偏导，则一定不可微；如果上述两个都无法证明，则要走定义路线。

专题20 复合函数求导法及其应用

这里有一个技巧，当我们遇到包含两个偏导的二元一次方程组时可以用克拉默法则快速求解，减少计算错误。

这类偏导证明函数值为常数的题目只能多看多记培养反应：

或者不硬背，直接尝试极坐标法。

这一类题目本质上是函数在特征线上的值不变，我们一定要看清条件背后的意义。如果能求出特征线方程，我们便能将二元函数转化为一元函数，其在特征线值固定时是常数。想要求出特征线式，要借用一阶线性齐次偏微分方程：$$A(x,y)\frac{\partial f}{\partial x} + B(x,y)\frac{\partial f}{\partial y} = 0$$，将其化为$$\frac{dx}{A(x,y)} = \frac{dy}{B(x,y)}$$得到特征线$\psi(x,y) = C$，于是$f(x,y) = g(\psi(x,y))$。

专题21 多元函数的最值问题

这题的解析有一个值得注意的技巧，在求偏导等于$0$的方程组时，可以用系数行列式等于0来快速求解，避免配凑$\lambda$出现问题。

专题22 二重积分

这题的重点是第二问。面对包含二重积分的极限问题，我们通常都会使用二重积分中值定理来辅助计算：

设函数$f(x, y)$ 在有界闭区域$D$ 上连续，$A$ 为区域$D$ 的面积（即$A = \iint_D \text{d}\sigma$），则在$D$ 上至少存在一点$(\xi, \eta)$，使得下式成立：$$\iint_D f(x, y) \text{d}\sigma = f(\xi, \eta) \cdot A$$也可以写成平均值的形式：$$f(\xi, \eta) = \frac{1}{A} \iint_D f(x, y) \text{d}\sigma$$此时$f(\xi, \eta)$ 称为函数$f(x, y)$ 在区域$D$ 上的算术平均值。

专题23 级数与幂级数的性质

注意正项级数与变号级数的区别。对于所有级数，定义法（数列和收敛）都有逆运用，只有对于正项级数，比较判别法及其极限形式才有逆运用。比值判别法、根值判别法等都不具有一般性，不能逆运用。

这题的评注揭示了讨论幂级数敛散性同其积分、求导过后敛散性关系的步骤：

$①$逐项积分与求导不改变幂级数的收敛半径与收敛区间（注意不是收敛域）；

$②$要想得到收敛域，除了讨论收敛区间外，还要讨论区间端点：

从幂级数的阶次角度考虑，对一个级数作积分会提高其阶数，从而增强其收敛性，对一个级数作求导会降低其阶数，从而削弱其收敛性，那么如果原本的级数在端点处（$x=R$或$-R$）收敛，积分之后一定也收敛，求导之后不一定也收敛；如果原本的级数在端点处（$x=R$或$-R$）发散，那么求导之后一定也发散，积分之后不一定也发散。

专题24 级数敛散性判断

对于这一类通项是积分的级数，当通项很难求时，可以尝试分部积分，把原级数拆分成若干个比较好判断敛散性的级数，利用条件收敛、绝对收敛以及发散之间的线性组合关系判断敛散性。

后三个选项分别是三类特殊的级数，$B$是展开后，相邻两项两两交换位置后收敛的级数；$C$是添加括号后，根据参数大小判断级数阶数；$D$是利用大小关系构造新级数，通过部分和有界判断敛散性，需要好好积累。

专题25 求幂级数的收敛半径与收敛域

这题的难点在于判断端点处的敛散性。就像求积分一样，遇到上下有同样元素的情况一定要会拆项以简化计算。并且不要轻易使用等价无穷小替换，这只对正项级数有效。

这题考察我们对$x_0$语言的了解程度。利用幂级数在收敛区间内绝对收敛以及绝对收敛级数乘有界量仍然绝对收敛的性质解题。一定不能对比较法求收敛半径作逆运用，因为逆运用时极限不一定存在。

专题26 求幂级数的和函数与函数的幂级数展开式

逐项求导法有时并不能直接求得表达式，但是仔细观察却有可能发现隐含的微分方程。

这题告诉我们级数的和函数在收敛域内连续。

这类题目当然可以通过对和函数求导来解开积分号，但是直接在积分内部将某些函数展开更加快捷。

二、线性代数

专题1 抽象行列式的计算

这里利用了正交矩阵的多个性质，考察很全面。

题干当中矩阵的多项式是一个指向性非常强的条件，我们一定要立刻想到特征值。或许我们会联想到因式分解得到若干个矩阵乘积，从而求解得到矩阵，但是这绝对是错误的，因为不同于数字运算，若干个矩阵相乘不代表其中一定有零矩阵（例如一组何意味矩阵相乘）。

专题2 关于AB=0的理解与应用

对于伴随矩阵，我们常常记忆$A^{*}=|A|A^{-1}$，但是这在$A$不可逆时不成立，但是$A^{*}A=|A|E$是一定成立的，记忆后者更加好。

并且注意到当$r(A)=n-1$时，$A$的伴随矩阵秩为$1$，并且此时有$A^{*}A=0$，这表示它们的独立列向量组刚好互为对方齐次方程组的基础解系。

这题使用了两个秩相关的性质：若$AB=0$，则$r(A)+r(B) \leq n$；$r(A)+r(B) \geq r(A+B)$。

专题3 求n阶矩阵A的方幂

这类题目的一般思路都是利用初等变换化为对角矩阵，但也有两种特殊的矩阵可以容易计算：

$①$若$A$为$1$阶矩阵，那么可以将其化为两个向量乘积，有$A^{k} = (tr(A))^{k-1}A$；

$②$若$A$为上下三角矩阵，并且对角线上元素一样，则可用二项展开公式：$A = nE + B$计算方幂。不过上面这一题需要平方得到对角线都为1的矩阵。

专题8 向量组、矩阵的秩

要想快速求矩阵特征值，一定要会将一个矩阵拆分为若干个好求特征值的矩阵，例如这一题就是将$A$变为全一矩阵和单位矩阵的线性组合。

专题9 基础解系

这两题是证明列向量组为某方程组基础解系的经典题目。我们只需要记住基础解系的三个性质：$①$个数对应；$②$线性无关；$③$是一组解。

专题10 线性方程组的有关问题

要想求方程组的解，弄清系数矩阵的列秩是必须的。我们一定不要忘记子式求矩阵秩下界的技巧。

弄清楚非齐次方程组中解的结构以及不同部分代表的含义，将其转化为向量的线性关系就能更加清楚地解题。

专题11 方程组同解及公共解的问题

只需要搞懂同解与系数矩阵秩的关系：$$r(A) = r(B) = r\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}$$这是两个方程组同解的充要条件，如果去掉最后一个等号，则其是方程组同解的必要条件。

专题14 由特征值、特征向量求矩阵及其中的参数

若一个矩阵同对角矩阵相似，那么其一定能够相似对角化。这是本题的隐藏结论。

专题16 二次型的标准形

这里要注意方法的运用：化二次型为标准形可以用配方法与正交变换法；而化为规范形就只能用配方法。并且求变换时，答案一定是$x=Py$而不是$y=Px$。

这里是让二次型化为标准形，不是让矩阵$A$化为标准形矩阵。并且只能求可逆变换让$A$化为标准形矩阵，求不出正交变换，因为它不是实对称矩阵。

专题17 二次型的正定性

对于若干个平方之和的二次型，其正定的充要条件就是等号不成立。

只需要抓住正定性的矩阵形式$x^{T}Ax > 0$作为重心即可。

三、概率论与数理统计

专题5 一维随机变量函数的分布

对于求随机变量函数$Y=g(X)$的分布，若$Y$是离散型，要用列举法分析出$Y$的所有取值，再分别计算概率；若$Y$是连续型，一般用分布函数法计算。

这里特别介绍一种方法：当函数$y=g(x)$是严格单调且导数恒不为$0$时，可以用公式法直接求出$Y$的概率密度：

$$f_{Y}(y) = |h'(y)|f_{X}[h(y)] , y \in Z(g)$$其中$Z(g)$为$y=g(x)$的值域。

专题7 二维随机变量函数的分布

这里着重提一下二维正态分布$(x,y) \sim N( \mu_1 , \mu_2 ; \sigma_1 , \sigma_2 ; \rho)$ 的概率密度函数：$$f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} exp[- \frac{1}{2(1 - \rho^2)} (\frac{x - \mu_1}{\sigma_1})^2 + 2 \rho (\frac{x - \mu_1}{\sigma_1})(\frac{y - \mu_2}{\sigma_2}) +(\frac{y - \mu_2}{\sigma_2})^2]$$

需要加强记忆，面对含有$e$的一维/二维概率密度函数立刻要想到一维/二维正态分布。

专题9 随机变量的数字特征

这里对被积函数进行配方获得服从正态分布的$Y=lnX$，利用其最大积分为$1$的性质求解原本不能解出积分，比较难想到，需要积累。

专题10 综合应用题

这里要注意$X$是正整数，不能用积分来写，而是应该写成数列和的形式，这是综合应用题常有的条件，需要细心。

专题11 大数定律和中心极限定理

记忆不同大数定律与中心极限定理比较麻烦，这里进行汇总：

$〇$切比雪夫不等式：$P(|X-E(X)| \geq \epsilon ) \leq \frac{D(X)}{\epsilon^2}$

$①$大数定律：

切比雪夫大数定律：各变量相互独立，期望存在，方差有共同上界，则算术平均值依概率收敛于均值的平均值：$\frac{1}{n}\sum X_i → \frac{1}{n}\sum E(X_i)$；

辛钦大数定律：各变量独立同分布，期望存在，则算术平均值依概率收敛于期望：$\frac{1}{n}\sum X_i → \mu$；
伯努利大数定律：$n$ 重伯努利试验中，事件$A$ 发生的次数为$\mu_n$，每次发生的概率为$p$，则事件发生的频率依概率收敛于概率：$\frac{\mu_n}{n} → p$。

$②$中心极限定理：

列维-林德伯格定理：各变量独立同分布，期望$E(X_i)=\mu$，方差$D(X_i)=\sigma^2 > 0$ 存在，则它们标准化和的极限分布是标准正态分布：$\lim\limits_{n\to\infty} P\left\lbrace{} \frac{\sum X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \le x \right\rbrace{} = \Phi(x)$，或写成：$\bar{X} \approx N\in(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

棣莫弗-拉普拉斯定理：$n$ 重伯努利试验中，标准化后的二项变量极限分布是标准正态：$\lim\limits_{n\to\infty} P\left\lbrace{} \frac{\eta_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \le x \right\rbrace{} = \Phi(x)$

专题12 正态总体的抽样分布

首先要搞清楚四种分布上分位数的性质：

对于正态分布以及$t$分布，它们的概率密度函数是关于$x=0$对称的，有：$$z_{1-\alpha} = -z_\alpha \quad \text{且} \quad t_{1-\alpha}(n) = -t_\alpha(n)$$

对于$F$分布，交换参数后上分位数变为另一侧的倒数，有：$$F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = \frac{1}{F_\alpha(n_2, n_1)}$$

卡方分布则没有什么特殊性质，想要进行双侧估计时，必须查出两个截然不同的正数。

再列出几个常见的分布及性质：

• $\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t(n-1)$，用样本数据以及$t$分布逼近正态分布，由于先算出均值所以自由度减一；
• $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，用样本数据拼凑卡方分布，同样由于先算出均值所以自由度减一；
• $\bar{X}$与$S^2$独立；
• $E(S^2)=\sigma^2$