张宇1000题强化篇——概率论与数理统计部分

对于下列命题：

① 若事件$A$，$B$ 相互独立，且$B$，$C$ 相互独立，则$A$，$C$ 相互独立；

② 若事件$A$，$B$ 相互独立，且$C \subset A$，$D \subset B$，则$C$，$D$ 相互独立。

设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有$25%$ 不合格，从这两批产品中任取 1 只，经检验是合格品，放回原处，并从原所在批次中再取 1 只，则这只产品是不合格品的概率为 ________.

设$X$ 是随机变量，$s$，$t$ 是正数，$m$，$n$ 是正整数．

① 若$X \sim G(p)$，则$P\lbrace{}X > m+n \mid X > m\rbrace{}$ 与$m$ 无关；

② 若$X \sim P\lbrace{}X = k\rbrace{} = \dfrac{1}{k(k+1)}$，$k = 1,2,\cdots$，则$P\lbrace{}X \geqslant 2n \mid X \geqslant n\rbrace{}$ 与$n$ 无关；

③ 若$X \sim E(\lambda)$，则$P\lbrace{}X > s+t \mid X > s\rbrace{}$ 与$s$ 无关；

④ 若$X \sim f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x^2}, & x > 1, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & \text{其他}, \end{cases}$ 则当$t > 1$ 时，$P\lbrace{}X \geqslant 2t \mid X \geqslant t\rbrace{}$ 与$t$ 无关．

上述结论中正确的个数为（　　）．

设$X$ 服从参数为$\lambda (\lambda > 0)$ 的泊松分布，$p_1, p_2, p_3$ 分别是$X$ 取整数、偶数与奇数的概率，则（　　）。

设$X, Y$ 分别服从参数为$n, m$ 的泊松分布，且$n > m$，$F_X(x), F_Y(y)$ 分别是$X, Y$ 的分布函数，$-\infty < z < +\infty$，则（ ）。

设随机变量$X$ 的概率分布为$P\lbrace{}X=1\rbrace{}=a$,$P\lbrace{}X=2\rbrace{}=1-a$. 在给定$X=i$ 的条件下，随机变量$Y$ 服从均匀分布$U(0,i)(i=1,2)$，且当$0 \leq y < 1$ 时，$Y$ 的分布函数为$F_Y(y)=\frac{2}{3}y$，则$a=$ (　　).

设$X, Y$ 与$X + Y$ 均服从同一种分布，其中$X, Y$ 相互独立，则下列分布一定可以成立的是（　　）。

设随机变量$X \sim N(0,1)$，则与$Y = \begin{cases} X, & |X| \leq 1, AsteroidLatexLineBreakToken -X, & |X| > 1 \end{cases}$ 同分布的是（　　）．

将长度为 1 的铁丝沿其上任一点折成两段，较短的一段长度记为$X$，并以这两段作为矩形的两条边，记矩形面积为$Z$，求：
(1)$X$ 的概率密度；
(2)$E(Z)$。

设$X$,$Y$ 独立同分布，$P\lbrace{}X = k\rbrace{} = \frac{1}{a^k}$,$k = 1, 2, \cdots$，则$P\lbrace{}X > Y\rbrace{} = $（　　）。

设二维正态随机变量$(X, Y)$ 的概率密度为$f(x, y)$，已知条件概率密度$f_{X|Y}(x|y) = A e^{-\frac{2}{3}\left(x - \frac{y}{2}\right)^2}$ 和$f_{Y|X}(y|x) = B e^{-\frac{2}{3}\left(y - \frac{x}{2}\right)^2}$。求：

(1) 常数$A$ 和$B$；

(2) 边缘概率密度$f_X(x)$ 和$f_Y(y)$；

(3)$f(x, y)$。

设一组两台机器同时启动开始制作产品，其独立工作时间$T_1, T_2$ 均服从参数为 1 的指数分布，$X$表示两台机器较早出现故障的时间，且收益$$Y = \begin{cases} X - 1, & X > 1, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & X \leq 1. \end{cases}$$
(1) 求$P\lbrace{}Y > 0\rbrace{}$；

接(1)，若有$N$ 组机器承接制作产品的任务，收益大于 0 的组数记为$M$，记$N \sim P(2e^2)$，在$N = n (n \geq 1)$ 的条件下，$M \sim B(n, P\lbrace{}Y > 0\rbrace{})$，求$M$ 的概率分布。

设$X_1$,$X_2$ 是来自标准正态总体$X$ 的简单随机样本，则$Y = \frac{X_1}{X_2}$ 的概率密度$f_Y(y) =$ (　　).

设$X$，$Y$ 独立同分布于参数为$\lambda$ 的指数分布，令$Z = \max\lbrace{}X, Y\rbrace{}$，则与$Z$ 同分布的是（ ）。

设随机变量$X$,$Y$ 独立同分布于$E(\lambda)$, 其中$\lambda > 0$,$F(x)$ 为$X$ 的分布函数，则与$F(X)$ 同分布的是（　　）。

7. 设二维随机变量$(X, Y)$ 在区域$D = \left\lbrace{}(x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\right\rbrace{}$ 上服从均匀分布，令$$U = \begin{cases} 1, & X \leq Y, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & X > Y. \end{cases}$$
   (1) 写出$(X, Y)$ 的概率密度。
   (2)$U$ 与$X$ 是否相互独立？说明理由。
   (3) 求$Z = U + X$ 的分布函数$F_Z(z)$。

设$X$,$Y$ 独立同分布于标准正态分布$N(0,1)$，记
$$ Z = \begin{cases} X, & XY > 0, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & XY = 0, AsteroidLatexLineBreakToken -X, & XY < 0. \end{cases} $$

(1) 证明$Z$ 服从标准正态分布。

(2)$(Y,Z)$ 是否服从二维正态分布？说明理由。

设某商品每天的供应量$X$的概率密度为$$ f(x) = \begin{cases} x e^{-x}, & x \geq 0, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & x < 0. \end{cases} $$
若每天的供应量相互独立，求：
(1) 3 天总供应量的概率密度；
(2) 连续 3 天中最大供应量的概率密度。

设$X$ 服从参数为 1 的泊松分布，则$E\left(\frac{1}{X+1}\right)=$（　　）．

在区间$[0,1]$ 上任取一点，将其分为两个区间，留下其中任一区间记其长度为$X$，再从留下的区间上任取一点，将其分为两个区间，并取其中任一区间，记其长度为$Y$，则$E(Y) = \underline{\qquad\qquad}.$

已知$(X, Y)$ 服从$N(0, 0; \sigma^2, \sigma^2; 0)$，$\sigma > 0$，若$D(|X - Y|) = 1 - \dfrac{2}{\pi}$，则$\sigma =$

设随机变量$X$ 的分布函数为$F(x) = k\left(\dfrac{\pi}{2} + \arctan x\right), x \in \mathbb{R}$，$Y = \min\lbrace{}1, |X|\rbrace{}$，则$E(Y) =$

设某营运车辆的使用寿命$X$（天）服从参数为$\frac{1}{1000}$ 的指数分布，车辆的使用成本为 300 元/天，司机的报酬为 400 元/天，并约定按照$m$ 天支付报酬，车辆每天正常运营可获得 1000 元收益，求该营运车辆的期望利润最大时$m$ 的值（$m$ 为整数）。（$\ln 2$ 取 0.693，$\ln 7$ 取 1.946）

已知两只灯泡的寿命独立同分布于期望为$2$ 的指数分布。第一只灯泡先亮，若$1$ 小时内第一只灯泡坏掉，则在第$1$ 小时时第二只灯泡才亮；若$1$ 小时内第一只灯泡未坏掉，则在第一只灯泡坏掉时，立即点亮第二只灯泡。令$T$ 为从点亮第一只灯泡直到第二只灯泡坏掉的时间，则$E(T)=$

14. 设随机变量$X$的概率密度为$$ f_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & \text{其他}, \end{cases} $$
    在给定$X = x (0 < x < 1)$ 的条件下，随机变量$Y$ 在$(-x, x)$ 上服从均匀分布。

(1) 求$P\left\lbrace{}\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2} \mid Y = E(Y)\right\rbrace{}$；

(2) 判断$X$ 与$Y$ 的独立性、相关性，并给出理由；

(3) 令随机变量$Z = X - Y$，求$f_Z(z)$。

设随机变量$X$,$Y$ 独立同分布于参数为 1 的指数分布，令$Z = \max\lbrace{}X, Y\rbrace{}$,$W = \min\lbrace{}X, Y\rbrace{}$，则$Z$ 与$W$ 的相关系数为（　　）。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$$f(x,y) = \begin{cases} ax^2y, & x^2 \le y \le 1, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & \text{其他.} \end{cases}$$
(1) 求$a$ 的值；
(2) 求$Z = X^2Y$ 的概率密度；
(3) 求$E\left(Y \mid X = \frac{1}{2}\right)$.

设连续型随机变量$X$ 与$Y$ 独立同分布，且其分布函数$F(x)$ 为严格单调增加函数，若$E(X)$ 存在，且$E(|X-Y|) = 1$，则$X$ 与$F(X)$ 的协方差为（ ）.
(A)$0$
(B)$\frac{1}{4}$
(C)$\frac{1}{2}$
(D)$1$

设$X \sim N(0,1)$，在$X = x$ 的条件下，总体$Y \sim N(x,1)$，记$Y_1, Y_2, \cdots, Y_n, \cdots$ 为取自总体$Y$ 的简单随机样本，则$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i^2$ 依概率收敛于 ______.

设$t(\geq 0)$ 时刻已进入某商场的顾客人数是$N_t$，$N_t$ 服从参数为$\frac{t}{2}$ 的泊松分布，令$T$ 表示第 1 个顾客到来的时刻。

(1) 求$T$ 的概率密度；

(2) 当$T_1, T_2, \cdots, T_n, \cdots$ 独立同分布于总体$T$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} T_i^2$ 在$n \to \infty$ 的条件下依概率收敛于$a$，求$a$ 的值。

设$X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right)$，$X_1, X_2, X_3$ 为来自总体$X$ 的简单随机样本，$\bar{X}$ 为样本均值，则$$P\left\lbrace{}\bar{X} > \frac{1}{3}\right\rbrace{} = ( \quad ).$$

设$X_1, X_2, \cdots, X_n (n \geq 2)$ 为来自正态总体$X$ 的简单随机样本，$E(X) = \mu$,$D(X) = \sigma^2$,$\sigma > 0$，记$Y = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |X_i - \mu|$，则$D(Y) = ($　　$)$。

设随机变量$X_1, X_2, X_3, X_4$ 相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，已知
$$Y = \frac{X_1^2 + X_2^2}{X_3^2 + X_4^2},$$
对给定的$\alpha (0 < \alpha < 1)$，数$y_\alpha$ 满足$P\lbrace{}Y > y_\alpha\rbrace{} = \alpha$，则有（　　）．

设总体$X$ 服从参数为$\lambda$（$\lambda > 0$ 未知）的泊松分布，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体$X$ 的一个简单随机样本，则$P\lbrace{}X = 0\rbrace{}$ 的最大似然估计量为 __________.

设总体$X$ 服从区间$[-\theta, \theta]$ ($\theta > 0$) 上的均匀分布，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体$X$ 的简单随机样本，求参数$\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量。

设总体$X \sim U[\theta_0, \theta_0 + \theta]$，其中$\theta_0$ 是已知常数，$\theta > 0$ 是未知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体$X$ 的简单随机样本，求：
(1)$\theta$ 的矩估计量$\hat{\theta}_1$ 及$E(\hat{\theta}_1)$；
(2)$\theta$ 的最大似然估计量$\hat{\theta}_2$ 及$E(\hat{\theta}_2)$。

设总体$X$ 服从$(0, \theta]$ 上的均匀分布，$\theta > 0$，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体$X$ 的简单随机样本，并记$X_{(1)} = \min \left\lbrace{} X_1, X_2, \cdots, X_n \right\rbrace{}$，$X_{(n)} = \max \left\lbrace{} X_1, X_2, \cdots, X_n \right\rbrace{}$。

(1) 求$\theta$ 的最大似然估计量$\hat{\theta}$；

(2) 求$Z = \dfrac{\hat{\theta}}{\theta}$ 的分布函数；

(3) 若$P \left\lbrace{} \hat{\theta} < \theta < \theta_0 \right\rbrace{} = 1 - \alpha$，$0 < \alpha < 1$，求$\theta_0$。

设总体$$X \sim f(x; \theta) = \begin{cases} \dfrac{x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{2\theta}}, & x > 0, \ AsteroidLatexLineBreakToken 0, & x \leq 0, \end{cases}$$$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体$X$ 的简单随机样本，$\theta > 0$ 且未知，记$\hat{\theta}_M$ 与$\hat{\theta}_L$ 分别是$\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量，求$\hat{\theta}_M$，$\hat{\theta}_L$ 以及对应的均值。

设$X_1, X_2$ 为来自总体$X \sim U[0, 2\theta]$ 的简单随机样本，$Y_1, Y_2, Y_3$ 为来自总体$Y \sim U[0, 4\theta]$ 的简单随机样本，且两样本相互独立，其中$\theta (\theta > 0)$ 是未知参数。利用样本$X_1, X_2, Y_1, Y_2, Y_3$，求$\theta$ 的最大似然估计量$\hat{\theta}$，并求$D(\hat{\theta})$。

设$X$ 服从参数为$\frac{2}{\theta}$ 的指数分布，在$X = x (x > 0)$ 的条件下，$Y$的条件概率密度为$$ f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{y-x}{\theta}}, & 0 < x < y, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & \text{其他}, \end{cases} $$
其中$\theta$ 为大于 0 的参数，$(X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \ldots, (X_n, Y_n)$ 是来自总体$(X, Y)$ 的简单随机样本。

(1) 求$\theta$ 的最大似然估计量$\hat{\theta}$；

(2) 计算$D(\hat{\theta})$。

设总体$X$的概率密度为$$ f(x; \alpha, \beta) = \begin{cases} \dfrac{\alpha \beta^\alpha}{x^{\alpha+1}}, & x \geq \beta, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & x < \beta, \end{cases} $$
$\alpha, \beta$ 均大于 0，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体$X$ 的简单随机样本。

(1) 求$\alpha, \beta$ 的最大似然估计量$\hat{\alpha}, \hat{\beta}$。

(2) 对任意的$\varepsilon > 0$，是否存在常数$a$，使得
$$\lim_{n \to \infty} P\left\lbrace{} \left| \hat{\beta} - a \right| \geq \varepsilon \right\rbrace{} = 0？$$

(3) 求$E(\ln X_1)$。

设总体$X$的概率分布为$$\begin{array}{c|ccc} X & 1 & 2 & 3 AsteroidLatexLineBreakToken \hline P & 1-\theta & \theta - \theta^2 & \theta^2 AsteroidLatexLineBreakToken \end{array}$$

其中参数$\theta \in (0,1)$ 未知。以$N_i$ 表示来自总体$X$ 的简单随机样本（样本容量为$n$）中等于$i$ 的个数$(i=1,2,3)$。求常数$a_1$,$a_2$,$a_3$，令$T = \sum_{i=1}^{3} a_i N_i$，使$E(T) = \theta$，并求$D(T)$。

对总体$X$进行简单随机抽样，得如下统计资料：$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 AsteroidLatexLineBreakToken \hline X = k \text{ 的次数} & 12 & 20 & 24 & 24 & 20 AsteroidLatexLineBreakToken \hline \end{array} $$

求总体$X$ 的经验分布函数$F_n(x)$。

设总体$X$的分布函数$$ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, AsteroidLatexLineBreakToken \theta, & 0 \leq x < 1, AsteroidLatexLineBreakToken 1 - 2\theta, & 1 \leq x < \frac{3}{2}, AsteroidLatexLineBreakToken 1, & x \geq \frac{3}{2}, \end{cases} $$
$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体$X$ 的简单随机样本。

(1) 求$\theta$ 的矩估计量$\hat{\theta}_M$，并求$E(\hat{\theta}_M)$；

(2) 若$n$ 个样本中有$n_1$ 个观测值为 1，$n_2$ 个观测值为 0，求$\theta$ 的最大似然估计值$\hat{\theta}_L$。

设总体$$X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 AsteroidLatexLineBreakToken \dfrac{\theta}{4N} & \dfrac{\theta}{2N} & \dfrac{4N - 3\theta}{4N} \end{pmatrix} $$，其中$N > 0$ 已知，$\theta > 0$ 未知，设$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体$X$ 的简单随机样本，取到 0 的个数为$n_0$，取到 1 的个数为$n_1$，取到 2 的个数为$n_2$，即$n_0 + n_1 + n_2 = n$。

(1) 求$\theta$ 的矩估计量$\hat{\theta}_1$ 和最大似然估计量$\hat{\theta}_2$；
(2) 求$\hat{\theta}_1$ 和$\hat{\theta}_2$ 的数学期望；
(3) 求$\hat{\theta}_1$ 和$\hat{\theta}_2$ 的方差。