超越题集

若$\lim_{x \to 0} \left[ \frac{3 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{2}{x}}} + \frac{\ln(1 + ax)}{|x|} \right]$ 存在，则常数$a =$ __________.

确定常数$a$ 与$b$的值，使得$$\lim_{x \to +\infty} \left[ \sqrt{x^6 + ax^3} - (x^3 + x^2 + bx)e^{-\frac{1}{x}} \right] = \frac{1}{3}.$$

$$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{n + 1} + \frac{\ln\left(1 + \frac{2}{n}\right)}{n + \frac{1}{2^2}} + \cdots + \frac{\ln\left(1 + \frac{n}{n}\right)}{n + \frac{1}{n^2}} \right] = \underline{\qquad\qquad}.$$

设$f(x)$ 在$x > 0$ 处有定义，$f'(1) = 2$，且对任意$x > 0$ 及$y > 0$满足$$f(xy) = f(x) + f(y) + (x - 1)(y - 1)$$
对任意$x > 0$，求$f(x)$ 及$f'(x)$。

设$f(x)$为连续函数，且$$\lim_{x \to 0} \frac{x f(x) - \ln(1 + x)}{x^2} = 2,$$
$F(x) = \int_0^x t f(x - t) , dt$，当$x \to 0$ 时，$F(x) - \frac{1}{2}x^2$ 与$b x^k$ 为等价无穷小，其中常数$b \ne 0$，$k$ 为正整数，（Ⅰ）求$k$ 与$b$ 的值及$f(0)$；（Ⅱ）证明$f(x)$ 在$x = 0$ 处可导并求$f'(0)$。

设函数$f(x)$ 在$[0, +\infty)$ 上具有二阶连续导数，且$f(0) = f'(0) = 0$，$f''(x) > 0$。若对任意的$x > 0$，用函数$u(x)$ 表示曲线在切点$(x, f(x))$ 处的切线在$x$ 轴上的截距。

（Ⅰ）写出函数$u(x)$ 的表达式，并求$\lim_{x \to 0^+} u(x)$ 与$\lim_{x \to 0^+} u'(x)$；

（Ⅱ）求$\lim_{x \to 0^+} \frac{x f(u)}{u f(x)}$ 与$\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^{u(x)} f(t),dt}{\int_0^x f(t),dt}$。

设某商品的需求函数$Q = Q(P)$ 是单调减少的，收益函数$R = PQ$，需求对价格的弹性记为$E_p$。

（Ⅰ）求证：边际收益$MR = P\left(1 + \frac{1}{E_p}\right)$，$R'(P) = Q(1 + E_p)$；

（Ⅱ）若当价格为$P_0$，对应的需求量为$Q_0$ 时，边际收益$MR = a > 0$，而$R'(P_0) = c < 0$，且这时需求对价格的弹性$E_p$ 满足$|E_p| = b > 1$，求$P_0$ 和$Q_0$。

设函数$f$ 具有二阶导数，且$f' \ne 1$。求由方程$x^2 e^y = e^{f(y)}$ 确定的隐函数$y = y(x)$ 的一、二阶导数。

函数$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1 + x)}{x}, & -1 < x < 0, \\ 1 - x, & x \geq 0 \end{cases}$ 的单调减少区间是________．

在下列四个命题中正确的是（ ）.
(A) 设$x_0 \in (a,b)$，函数$f(x)$ 满足$f'(x) > 0 \ (a < x < x_0)$ 和$f'(x) < 0 \ (x_0 < x < b)$，则$f(x)$ 在点$x = x_0$ 处取得它在$(a,b)$ 上的最大值.
(B) 设$f(x)$ 在点$x = x_0$ 取得极大值，则存在正数$\delta > 0$，使函数$f(x)$ 在$(x_0 - \delta, x_0)$ 内单调增加，在$(x_0, x_0 + \delta)$ 内单调减少.
(C) 设$f(x)$ 在区间$(-a,a)$ 内为偶函数（其中$a > 0$ 是一个常数），则$x = 0$ 必是$f(x)$ 的一个极值点.
(D) 设$f(x)$ 在区间$(-a,a)$ 内可导且为偶函数（其中$a > 0$ 是一个常数），则$f'(0) = 0$.

利用柯西中值定理证明不等式：
$$1 + x\ln(x + \sqrt{1 + x^2}) \geq \sqrt{1 + x^2},\quad -\infty < x < +\infty.$$

证明不等式$(a + b)e^{a+b} < ae^{2a} + be^{2b}$ 当$b > a > 0$ 时成立．