超越题集

若$\lim_{x \to 0} \left[ \frac{3 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{2}{x}}} + \frac{\ln(1 + ax)}{|x|} \right]$ 存在，则常数$a = $ __________.

确定常数$a$ 与$b$的值，使得$$\lim_{x \to +\infty} \left[ \sqrt{x^6 + ax^3} - (x^3 + x^2 + bx)e^{-\frac{1}{x}} \right] = \frac{1}{3}.$$

$$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{n + 1} + \frac{\ln\left(1 + \frac{2}{n}\right)}{n + \frac{1}{2^2}} + \cdots + \frac{\ln\left(1 + \frac{n}{n}\right)}{n + \frac{1}{n^2}} \right] = \underline{\qquad\qquad}.$$

设$f(x)$ 在$x > 0$ 处有定义，$f'(1) = 2$，且对任意$x > 0$ 及$y > 0$满足$$f(xy) = f(x) + f(y) + (x - 1)(y - 1)$$
对任意$x > 0$，求$f(x)$ 及$f'(x)$。

设$f(x)$为连续函数，且$$\lim_{x \to 0} \frac{x f(x) - \ln(1 + x)}{x^2} = 2,$$
$F(x) = \int_0^x t f(x - t) , dt$，当$x \to 0$ 时，$F(x) - \frac{1}{2}x^2$ 与$b x^k$ 为等价无穷小，其中常数$b \ne 0$，$k$ 为正整数，（Ⅰ）求$k$ 与$b$ 的值及$f(0)$；（Ⅱ）证明$f(x)$ 在$x = 0$ 处可导并求$f'(0)$。

设函数$f(x)$ 在$[0, +\infty)$ 上具有二阶连续导数，且$f(0) = f'(0) = 0$，$f''(x) > 0$。若对任意的$x > 0$，用函数$u(x)$ 表示曲线在切点$(x, f(x))$ 处的切线在$x$ 轴上的截距。

（Ⅰ）写出函数$u(x)$ 的表达式，并求$\lim_{x \to 0^+} u(x)$ 与$\lim_{x \to 0^+} u'(x)$；

（Ⅱ）求$\lim_{x \to 0^+} \frac{x f(u)}{u f(x)}$ 与$\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^{u(x)} f(t),dt}{\int_0^x f(t),dt}$。

设某商品的需求函数$Q = Q(P)$ 是单调减少的，收益函数$R = PQ$，需求对价格的弹性记为$E_p$。

（Ⅰ）求证：边际收益$MR = P\left(1 + \frac{1}{E_p}\right)$，$R'(P) = Q(1 + E_p)$；

（Ⅱ）若当价格为$P_0$，对应的需求量为$Q_0$ 时，边际收益$MR = a > 0$，而$R'(P_0) = c < 0$，且这时需求对价格的弹性$E_p$ 满足$|E_p| = b > 1$，求$P_0$ 和$Q_0$。

设函数$f$ 具有二阶导数，且$f' \ne 1$。求由方程$x^2 e^y = e^{f(y)}$ 确定的隐函数$y = y(x)$ 的一、二阶导数。

函数$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1 + x)}{x}, & -1 < x < 0, AsteroidLatexLineBreakToken 1 - x, & x \geq 0 \end{cases}$ 的单调减少区间是________．

在下列四个命题中正确的是

(A) 设$x_0 \in (a,b)$，函数$f(x)$ 满足$f'(x) > 0$ ($a < x < x_0$) 和$f'(x) < 0$ ($x_0 < x < b$)，则$f(x)$ 在点$x = x_0$ 处取得它在$(a,b)$ 上的最大值．

(B) 设$f(x)$ 在点$x = x_0$ 取得极大值，则存在正数

利用柯西中值定理证明不等式：
$$1 + x\ln(x + \sqrt{1 + x^2}) \geq \sqrt{1 + x^2},\quad -\infty < x < +\infty.$$

证明不等式$(a + b)e^{a+b} < ae^{2a} + be^{2b}$ 当$b > a > 0$ 时成立．

设函数$f(x)$ 在$[0, +\infty)$ 有连续的一阶导数，在$(0, +\infty)$ 二阶可导，且$f(0) = f'(0) = 0$，又当$x > 0$时满足不等式$$x f''(x) + 4e^{f(x)} \leq 2\ln(1 + x).$$
求证：当$x > 0$ 时$f(x) < x^2$ 成立．

设函数$f(x)$ 在闭区间$[0,1]$ 上连续，在开区间$(0,1)$ 内可导，且$f(0) = f(1) = 1$，$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$。求证：对任何满足$0 < k < 1$ 的常数$k$，存在$\xi \in (0,1)$，使$f'(\xi) = -k$。

设函数$f(x)$ 在$[a,b]$ 上连续，在$(a,b)$ 内可导，试证存在$\xi,\eta,\zeta \in (a,b)$，使得$$f'(\xi) = e^{\xi-\eta}f'(\eta).$$

设函数$f(x)$ 在$[a,b]$ 上一阶可导，在$(a,b)$ 内二阶可导，且$f(a) = f(b) = 0$，$f'(a)f'(b) > 0$。求证：
（Ⅰ）$\exists \xi \in (a,b)$ 使得$f'(\xi) = f(\xi)$；
（Ⅱ）$\exists \eta \in (a,b)$ 使得$f''(\eta) = f(\eta)$。

设函数$f(x)$ 在$x = 0$的某邻域中二阶可导，且$$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x + x f(x)}{x^3} = 0,$$
求$f(0)$,$f'(0)$ 与$f''(0)$ 之值。

设$f(x)$ 在$[a,b]$ 上二阶可导，$f(a) = f(b) = 0$。证明至少存在一点$\xi \in (a,b)$使得$$|f''(\xi)| \geq \frac{8}{(b-a)^2} \max_{a \leq x \leq b} |f(x)|.$$

设函数$f(x)$ 在$(-\infty, +\infty)$ 三阶可导，且存在正数$M$，使得$|f(x)| \leq M$，$|f'''(x)| \leq M$ 对$\forall x \in (-\infty, +\infty)$ 成立。求证：$f'(x)$，$f''(x)$ 在$(-\infty, +\infty)$ 有界。

设$f(x) = \begin{cases} 2x\sin \dfrac{1}{x} - \cos \dfrac{1}{x}, & x \ne 0, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & x = 0, \end{cases}$ 则$\displaystyle \int_0^1 f(x),\mathrm{d}x =$ _________.

（Ⅰ）设$\Phi(x)$ 在$[a,b]$ 二阶可导，$\Phi''(x) \leq 0$，在$[a,b]$ 的$\forall$ 子区间上$\Phi''(x) \neq 0$，又$\Phi(a) = \Phi(b) = 0$，求证$\Phi(x) > 0\ (x \in (a,b))$．

（Ⅱ）设$f(x)$ 在$[0,1]$ 上可导，且$f(x) \geq 0$，$f'(x) < 0$．求证：函数$F(x) = \int_0^x f(t),\mathrm{d}t$满足$$xF(1) < F(x) < 2\int_0^1 F(t),\mathrm{d}t,\ \forall x \in (0,1).$$

（Ⅰ）求$\int f(x),\mathrm{d}x$，其中
$$f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \leq 0, AsteroidLatexLineBreakToken \ln(1 + x), & x > 0; \end{cases}$$

（Ⅱ）设$x \in (-\infty, +\infty)$，求
$$f(x) = \int_0^1 |2x - t|,\mathrm{d}t,\quad t \in [0,1]$$

（Ⅰ）$\int \frac{\mathrm{d}x}{1 + 2\cos^2 x}$

（Ⅱ）$\int \frac{\mathrm{d}x}{x + \sqrt{1 - x^2}}$

（Ⅲ）$\int_1^2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{3x^2 - 1} ,\mathrm{d}x$

计算定积分$\int_0^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \sin^2 x}$。

（Ⅰ）$\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{(1 + e^x)(1 + x^2)}$

（Ⅱ）$\int_{0}^{1} x \arcsin 2\sqrt{x(1 - x)} , \mathrm{d}x$

$$\int_{0}^{2\pi} \left| \sin x - \sqrt{3} \cos x \right| dx = $$

（Ⅰ）设非负函数$f(x)$ 在区间$[0,1]$ 上连续且单调非增，常数$a$ 与$b$ 满足$0 < a < b \leq 1$。求证：
$$\int_0^a f(x),\mathrm{d}x \geqslant \frac{a}{b} \int_a^b f(x),\mathrm{d}x;$$

（Ⅱ）（1）对$\forall x > 0, x_0 > 0$，证明：
$$\ln x < \ln x_0 + \frac{1}{x_0}(x - x_0)$$

（2）设$u(t)$ 在$[a,b]$ 上连续，$u(t) > 0$，证明：
$$\ln\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b u(t),\mathrm{d}t\right) \geqslant \frac{1}{b-a}\int_a^b \ln u(t),\mathrm{d}t.$$

证明反常积分的比较判别法．

（Ⅰ）比较原理：设$f(x), g(x)$ 在$[a, +\infty)$ 连续又$0 \leq f(x) \leq g(x)\ (x \in [a, +\infty))$．

1° 若$\int_a^{+\infty} g(x),\mathrm{d}x$ 收敛，则$\int_a^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$ 收敛；

2° 若$\int_a^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$ 发散，则$\int_a^{+\infty} g(x),\mathrm{d}x$ 发散．

（Ⅱ）比较原理的极限形式：设$f(x), g(x)$ 在$[a, +\infty)$连续且非负，又$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = l$$

1° 当$0 < l < +\infty$ 时$\int_a^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$ 与$\int_a^{+\infty} g(x),\mathrm{d}x$ 有相同的敛散性；

2° 当$l = 0$ 时，若$\int_a^{+\infty} g(x),\mathrm{d}x$ 收敛，则$\int_a^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$ 收敛．

3° 当$l = +\infty$ 时，若$\int_a^{+\infty} g(x),\mathrm{d}x$ 发散，则$\int_a^{+\infty} f(x),\mathrm{d}x$ 发散．

设有反常积分：
$$I = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan e^x}{e^{2x}} , dx;$$
（Ⅰ）判断其敛散性，（Ⅱ）如果是收敛的，求出其值。

设有反常积分：
$$J = \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x(1 + x^3)};$$
（Ⅰ）判断其敛散性，（Ⅱ）如果是收敛的，求出其值。

设有反常积分：
$$K = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sin 2x};$$
（Ⅰ）判断其敛散性，（Ⅱ）如果是收敛的，求出其值。

下列关于反常积分$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x),dx$ 命题

① 设$f(x)$ 是$(-\infty, +\infty)$ 上连续的奇函数，则$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x),dx$ 必收敛，且$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x),dx = 0;$$

② 设$f(x)$ 在$(-\infty, +\infty)$ 上连续，且$\lim_{R \to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x),dx$ 存在，则$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x),dx$ 必收敛，且$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x),dx = \lim_{R \to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x),dx;$$

③ 若$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x),dx$ 与$\int_{-\infty}^{+\infty} g(x),dx$ 都发散，则$\int_{-\infty}^{+\infty} [f(x) + g(x)],dx$ 未必发散；

④ 若$\int_{-\infty}^{0} f(x),dx$ 与$\int_{0}^{+\infty} f(x),dx$ 都发散，则$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x),dx$ 未必发散

中真命题的个数是

求通解：$y_{t+1} - 2y_t = 3 + t$

求通解：$y_{t+1} - y_t = 3 + t$

求通解：$y_{t+1} - y_t = 4 \cdot 2^t$

求通解：$y_{t+1} - 2y_t = 4 \cdot 2^t$

求一阶差分方程$2y_{t+1} + y_t = 5\sin \frac{\pi}{2}t$ 满足$y_0 = 4$ 的特解。

设$f(x,y) = (x - 2)^2 \sqrt{y} - x(y^2 - 1)\arcsin \sqrt{\frac{x^2 + a^2}{y}}$，则$df(0,1) =$ ________．

设$y = g(x, z)$，而$z = z(x, y)$ 是由方程$f(x - z, xy) = 0$ 所确定，其中函数$f, g$ 均有连续偏导数，求$\frac{dz}{dx}$。

设二元函数$F(\xi, \eta)$ 的两个偏导数$F_1', F_2'$ 不同时为零，$u(x,y)$ 具有二阶连续偏导数且满足$F\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\right) = 0$。证明：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2.$$

设$f(x,y)$在全平面有连续偏导数，满足$$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = 0.$$
求证：$f(x,y)$ 为常数．

求函数$f(x,y) = x^2 + \sqrt{2}xy + 2y^2$ 在闭区域$D = \lbrace{}(x,y) \mid x^2 + 2y^2 \leq 4\rbrace{}$ 上的最大值与最小值。

设$b > a > 1$，数$p, q$ 满足条件$px + q \geqslant \ln x$（$x \in [a, b]$），求使得积分$$I(p, q) = \int_a^b (px + q - \ln x),dx$$ 取得最小值的$p$ 和$q$ 的值。

设生产某种产品需投入两种要素，$K$ 和$L$ 分别是两种要素的投入量，两种要素的单位价格分别为常数$P_K$ 和$P_L$，$Q$为产品的产出量。设生产函数为$$Q = A(aK^\alpha + bL^\alpha)^{\frac{1}{\alpha}},$$
其中$A > 0$，$\alpha > 0$，$\alpha \neq 1$ 为常数，$a$ 和$b$ 是参数，且满足$a + b = 1$。当成本为$M$ 时，试确定两种要素的投入量，以使产量$Q$ 达到最高。

将直角坐标系$xOy$ 中的累次积分$I = \int_0^2 dx \int_x^{\sqrt{3}x} f(\sqrt{x^2 + y^2}),dy$ 化为极坐标系$(r,\theta)$ 中的累次积分；

求$\lim_{t \to 0^+} \frac{\iint_{D(t)} f(\sqrt{x^2 + y^2}),dx,dy}{t^2}$，其中$D(t) = \lbrace{}(x,y) \mid x^2 + y^2 \leq xt\rbrace{}$。

设区域$D = \lbrace{} (x,y) \mid 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x, x^2 + y^2 \geq 2x \rbrace{}$，求二重积分$I = \iint_D x^2 y , d\sigma$

设$f(x)$ 具有连续导数，且$f(0) = 0$，$f'(0) = 6$，则
$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^3} f(t) , dt}{\left[ \int_0^x f(t) , dt \right]^3} = \underline{\qquad}.$$

计算定积分$\int_0^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \sin^2 x}$。

设$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \ne 0, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & x^2 + y^2 = 0, \end{cases}$ （Ⅰ）求$\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}, \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}$； （Ⅱ）$f(x,y)$ 在点$(0,0)$ 处是否可微？为什么？若可微则求$\mathrm{d}f\big|_{(0,0)}$。

求$I = \iint_{D} e^{-(x^2 + y^2)} \cos(x^2 + y^2) , d\sigma$，其中$D$ 是由直线$y = x$与$y = \sqrt{3}x$ 在第一象限围成的区域。

下列命题中正确的是

（Ⅰ）$\lim_{x \to \infty} \left[ \frac{e x^{1+x}}{(1+x)^x} - x \right]$

（Ⅱ）$\lim_{x \to +\infty} \left[ (x+a)^{1+\frac{1}{x}} - x^{1+\frac{1}{x+a}} \right]$，其中常数$a \ne 0$

设某种产品的需求函数是$Q = a - bP$，其中$Q$ 是该产品的销售量，$P$ 是该产品的价格，常数$a > 0, b > 0$，且该产品的总成本函数为$$C = \frac{1}{3}Q^3 - \frac{17}{2}Q^2 + 108Q + 36.$$ 已知当边际收益$MR = 56$ 以及需求价格弹性$E = -\frac{41}{13}$ 时，出售该产品可获得最大利润。试确定常数$a$ 和$b$ 的值，并求利润最大时的产量。

设$z = \frac{u}{y} + e^{-xu} + f(u)$，而中间变量$u$ 满足关系式$x e^{-xu} - f'(u) = \frac{1}{y}$，其中$u(x,y)$ 和$f(u)$ 均为可微函数，如果$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial y}$，则$u(x,y) =$ ________．

求二次积分$I = \int_{0}^{1} dx \int_{1-x}^{2-x} e^{(x+y)^2} dy + \int_{1}^{2} dx \int_{0}^{2-x} e^{(x+y)^2} dy$

下列命题

① 若$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n}$ 收敛，

② 若$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为正项级数，$\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ ($n = 1,2,3,\cdots$)，则$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，

③ 若$\exists$ 极限$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l \neq 0$，且$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，

④ 若$w_n < u_n < v_n$ ($n = 1,2,3,\cdots$)，又$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 与$\sum_{n=1}^{\infty} w_n$ 均收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛

中正确的个数是

(A) 1 个．
(B) 2 个．
(C) 3 个．
(D) 4 个．

下列命题

① 设$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 与$\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 有相同的收敛域$(-R, R)$，则$\sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n) x^n$ 的收敛域为$(-R, R)$，

② 设$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 与$\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 的收敛域分别为$[-1, 1), (-2, 2)$，则$\sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n) x^n$ 的收敛域为$[-1, 1)$，

③ 若幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛区间$(-R, R)$ 即它的收敛域，则$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$ 的收敛域可能是$[-R, R]$，

④ 若幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛域为$[-R, R]$，则幂级数$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ 的收敛域为$[-R, R]$

中正确的是

(A) ①②．
(B) ②③．
(C) ③④．
(D) ①④．

若$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n n!}{n^n}$ 收敛，则$a$ 满足__________；

级数若$\sum_{n=1}^{\infty} (n^{n^{-\alpha}} - 1)$ 收敛，则$\alpha$ 满足__________。

设$a_n = \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} , dx$，试判断级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 是条件收敛还是绝对收敛或发散。

（Ⅰ）叙述积分判别法

（Ⅱ）(1)$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ $(p > 0)$

（Ⅱ）(2)$\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln^p n}$ $(p > 0)$

（Ⅱ）(3)$\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n (\ln \ln n)^p}$ $(p > 0)$

设$f(x)$ 在$|x| < 1$ 上有定义，在$x = 0$ 某邻域有一阶连续的导数且$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = a > 0$。求证：（Ⅰ）$\sum\limits_{n=1}^{\infty} f\left(\dfrac{1}{n}\right)$ 发散；（Ⅱ）$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} f\left(\dfrac{1}{n}\right)$ 收敛。

求幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{(n-2^n)n}$ 的收敛域。

设$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为$R = R_0 > 0$，求证幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} x^n$ 的收敛域为$(-\infty, +\infty)$

求级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n-1)}$ 的收敛域与和函数。

求幂级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n}}{n(2n+1)}$ 的收敛半径，收敛域与和函数．

设$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2 \ln(1+n)}$，求证$f(x)$ 在闭区间$[-1,1]$ 上连续，而$f'(x)$ 在开区间$(-1,1)$ 内连续。

求$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n n^2}{(n+1)!} x^n$ 的收敛域及和函数．

求级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n-1)}$ 的收敛域与和函数。