例题如下：

这题证明数列递减比较容易，但是想要证明下有界，只看答案的话会觉得“神兵天降”：

解答：注意到$\frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1}) = \frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} < \frac{1}{\sqrt{n-1}}$，因此：

$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{n}} &< 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1}) < \frac{1}{\sqrt{n-1}} \frac{1}{\sqrt{2}} &< 2(\sqrt{2} - \sqrt{1}) < \frac{1}{\sqrt{1}} \end{aligned}$$上述各式相加可得，$$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n} - 2 < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n-1}} \quad$$即$$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} - 2\sqrt{n} > -2 + \frac{1}{\sqrt{n}} > -2$$即$-2$ 为$\lbrace{}a_n\rbrace{}$ 的一个下界。

只给了放缩，但是根本没说怎么想到的，在考场上要能快速得到解法，除了硬记就没有别的方法吗？

这里给出一个大大提高数列放缩成功率的通法：定积分放缩法。

如图。当我们以$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$在每一个正整数点上的函数值为高度作宽度为$1$的矩阵，我们可以得到蓝色部分的和大于$(1,n+1)$上的积分，得到下界，于是有：

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} > \int_{1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{n+1} - 2$$那么$$a_n > 2\sqrt{n+1} - 2\sqrt{n} - 2 > -2$$

则$a_n$有下界$-2$。

下面再给一个类似的题目：

题干：已知数列：
$$X_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \ln n$$求证其上下界为：$$\ln\frac{n+1}{n} < X_n < 1$$

解答：下界放缩$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} > \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx$$上界放缩$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} < \int_{1}^{n} \frac{1}{x} dx + 1$$结论$$\Rightarrow \ln\frac{n+1}{n} < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n < 1$$