一给水设备每次供水时间为 2 小时，已知该设备启动时发生故障的概率为$p$，一旦设
备启动，它的无故障工作时间$X$ 服从指数分布，平均无故障工作时间 ($EX$) 为 10 小
时．试求设备每次启动无故障工作时间$Y$ 的分布函数$F_Y(y)$．

设 3 阶矩阵$A, B$ 满足$A^2 + B^2 = AB + BA$，且$A \neq B$，则下列结论错误的是

设$X$ 与$Y$ 为具有二阶矩的随机变量，且$DX \neq 0$，若记$G(a,b) = E\left\lbrace{}[Y - (a + bX)]^2\right\rbrace{}$，则$G(a,b)$ 在驻点处的值为

若曲线$y = f(x)$ 的切线斜率在$[a, b]$ 上单调递增，证明曲线$y = f(x)$ 在$[a, b]$ 上是凹的。

设$\boldsymbol{a}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$,$\boldsymbol{a}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$,$\boldsymbol{a}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$，并记$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & -3 & -4 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

(1) 求$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ 的一个极大线性无关组；

(2) 求$A^n$ ($n > 2$)。

设随机变量$X$ 的概率分布为$P\lbrace{}X = k\rbrace{} = \frac{1}{2^{k+1}} + \frac{a}{3^k}, k = 1,2,\cdots$.

(1) 求$a$ 的值；

(2) 求$X$ 的数学期望$EX$ 与方差$DX$；

(3) 比较$E(X|X > 1)$ 与$E(X|X > 2)$ 的大小，并说明理由。

设$A$ 是$n$ 阶实对称矩阵，则“存在$n$ 阶矩阵$B$，使$AB + B^T A$ 是正定矩阵”是 “$r(A) = n$” 的

设$f(x_1,x_2,x_3)=x^{\mathrm{T}}Ax$，$A=A^{\mathrm{T}}$，$x=(x_1,x_2,x_3)^{\mathrm{T}}$，$A$ 的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，且$\lambda_1>\lambda_2>\lambda_3$，对应的特征向量分别为$\xi_1,\xi_2,\xi_3$．若$x^{\mathrm{T}}x=1$，$x^{\mathrm{T}}\xi_1=0$，则$f(x_1,x_2,x_3)$ 的最大值为

设随机变量$X$,$Y$ 独立同分布于$E(\lambda)$, 其中$\lambda > 0$,$F(x)$ 为$X$ 的分布函数, 则下列随机变量中与$F(X)$ 同分布的是

若光滑曲线$y = f(x)$ 在区间$[a, b]$ 上是凹的，证明$y = f(x)$ 的切线斜率在$[a, b]$ 上单调递增。

设$A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$,$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

(1)$A$ 是否可以相似对角化？判断并说明理由。

(2) 求可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = B$.

设常数项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，$r$ 是实数，则