张宇1000题基础篇——概率论与数理统计部分

设$P[A|(A\cup BC)] = \frac{1}{2}$,$P(B) = P(C) = \frac{1}{2}$, 其中$A$,$B$ 互不相容,$B$,$C$ 相互独立, 则$P(A) = ( )$.

4. 随机试验$E$ 有三种两两不相容的结果$A_1, A_2, A_3$，且三种结果发生的概率均为$\frac{1}{3}$。将试验$E$ 独立重复做 2 次，$X$ 表示 2 次试验中结果$A_1$ 发生的次数，$Y$ 表示 2 次试验中结果$A_2$ 发生的次数，则$X + Y$ 服从（ ）。

6. 设随机变量$X$ 服从正态分布，其概率密度$f(x)$ 在$x=1$ 处有驻点，且$f(1)=1$，则$X$ 服从（ ）。

设随机变量$X$ 在区间$(a, b)$ 上随机取值，当观察到$X = x (a < x < b)$ 时，随机变量$Y$ 在区间$(x, b)$ 上随机取值，求：
(1)$Y$ 的概率密度；
(2)$P\lbrace{}X + Y < a + b\rbrace{}$。

11. 已知二维随机变量$(X, Y)$的概率密度为$$ f(x, y) = \begin{cases} 2e^{-(x+y)}, & 0 < x < y, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & \text{其他}, \end{cases} $$
    求$(X, Y)$ 的分布函数$F(x, y)$。

14. 设随机变量$X$,$Y$ 相互独立，且$X$的概率密度为$$ f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & \text{其他}, \end{cases} $$
    $Y$的概率密度为$$ f_Y(y) = \begin{cases} e^{ay}, & y > 0, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & \text{其他}. \end{cases} $$

(1) 求$a$ 的值；

(2) 若$Z = 2X + aY$，求$Z$ 的概率密度。

12. 随机试验$E$ 有三种两两不相容的结果$A_1, A_2, A_3$，且三种结果发生的概率均为$\frac{1}{3}$。将试验$E$ 独立重复做 2 次，$X$ 表示 2 次试验中结果$A_1$ 发生的次数，$Y$ 表示 2 次试验中结果$A_2$ 发生的次数，则$X$ 与$Y$ 的相关系数为（　　）。

设随机变量$X \sim E(1)$，记$Y = \max\lbrace{}X, 1\rbrace{}$，则$E(Y) = ( )$。

8. 在$(0,1)$ 线段上随机投掷两点，该两点的距离为$X$，求：

(1)$X$ 的分布函数$F(x)$ 和概率密度$f(x)$；

(2)$X$ 的数学期望$E(X)$。

已知随机变量$X$ 的概率密度为$f(x) = A e^{x(B - x)} \ ( -\infty < x < +\infty)$，$E(X) = 2D(X)$，求：
(1) 常数$A, B$ 的值；
(2)$E(X^2 + e^x)$ 的值；
(3)$Y = |\sqrt{2}(X - 1)|$ 的分布函数$F(y)$。

10. 设$X$,$Y$ 是两个相互独立且均服从正态分布$N\left(0, \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\right)$ 的随机变量，则随机变量$|X - Y|$ 的数学期望$E(|X - Y|) = ( )$。

11. 设随机变量$X$ 与$Y$独立同分布，且都服从参数为 1 的指数分布。若$$ Z = \begin{cases} 2X, & X \geq Y, AsteroidLatexLineBreakToken Y - 1, & X < Y, \end{cases} $$
    则$E(Z) = $（　）。

对于任意随机变量$X$ 和$Y$，如果$D(X+Y) = D(X-Y)$，则（ ）。

已知随机变量$X \sim U(0, 4)$，实数$c \in [0, 4]$，且$X$ 与$|X - c|$ 不相关，则$c = ( )$。

设随机变量$X$，$Y$ 均服从参数为$\lambda$ 的泊松分布，且$\rho_{XY} = -\frac{1}{2}$，$U = 2X + Y$，求$U$ 与$X$ 的相关系数。

21. 设随机变量$X$ 与$Y$ 相互独立，$X$的分布列为$$ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 AsteroidLatexLineBreakToken p & p & 1-2p \end{pmatrix}, $$
    $Y$ 服从参数为 1 的指数分布，令$Z = XY$，若$Y$ 与$Z$ 既不相关，也不独立，求：

(1)$Z(Z \neq 0)$ 的概率密度；

(2)$p$ 的值。

设$X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 是来自总体$X$ 的简单随机样本，$X$ 服从$[-\pi, \pi]$ 上的均匀分布，记$Y_k = \cos(kX_k)$，$k = 1, 2, \cdots, n, \cdots$，则$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} Y_k^2$ 依概率收敛于 :

5. 设有 5 个盒子，100 个球，每个球等可能地放入任一盒子中，根据中心极限定理，指定的某一个盒子中不超过 22 个球的概率近似为（ ）。

设$X_1, X_2, \cdots, X_n (n \geq 2)$ 为来自标准正态总体$X$ 的简单随机样本，记$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，
$$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2, \quad Y = \bar{X} - S,$$
则$E(Y^2) = $（ ）.