330题集

证明：当$x > 0$ 时，$\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$；

设$x_n = \left(1 + \frac{n^2 - n + 1}{n^3}\right)\left(1 + \frac{n^2 - n + 3}{n^3}\right)\cdots\left(1 + \frac{n^2 + n - 1}{n^3}\right)$，求$\lim_{n \to \infty} x_n$。

已知 Stolz 定理: 若$\lim_{n \to \infty} x_n = L$, 则$\lim_{n \to \infty} \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = L$. 证明: 若$x_n > 0$,$n = 1,2,\cdots$, 且$x_1 = 1$,$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = L$ ($L > 0$), 则$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} = L$;

设数列$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 满足:$x_1 = 1, x_2 = 1, x_{n+2} = x_{n+1} + x_n, n = 1,2,\cdots$. 证明:$x_n = \frac{a^n - b^n}{\sqrt{5}}$, 其中$a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, b = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$;并求极限$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n}$.

设数列$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 满足$x_{n+1} = \sqrt{\frac{\pi}{2} x_n \sin x_n}$，且$0 < x_1 < \frac{\pi}{2}$。求$\lim_{n \to \infty} \frac{\sec x_n - \tan x_n}{\frac{\pi}{2} - x_n}$。

设$a_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} - 2\sqrt{n}$，证明数列$\lbrace{}a_n\rbrace{}$ 收敛。

设$f(x)$ 非负连续，且$f(0) = 0$，$f'(0) = \frac{1}{2}$，计算
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^{\ln(1+x)} t f(t) dt}{\left[ \int_0^x \sqrt{f(t)} dt \right]^2}.$$

当$x \to \infty$ 时，$\left[\frac{e}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}\right]^x - \sqrt{e}$ 与$x^k$ 是同阶无穷小量，求$k$ 的值。

求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \sqrt[4]{\frac{1+2x}{1-2x}} \cdot \sqrt[6]{\frac{1+3x}{1-3x}} \cdot \cdots \cdot \sqrt[2026]{\frac{1+1013x}{1-1013x}} - 1}{\arcsin x - (x^2 + 1)\arctan^2 x}$。

求$a, b$，使得$f(x) = \dfrac{(x^2 + a^2)(x - 1)}{e^{\frac{1}{x}} + b}$ 在$(-\infty, +\infty)$ 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点。

讨论函数$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x(x^2 - 4)}{\sin \pi x}, & x > 0, \\ \dfrac{x(x + 1)}{x^2 - 1}, & x \leq 0 \end{cases}$ 的连续性并指出间断点的类型。

设$f(x)$ 在$[a,b]$ 上连续，且$f(a) = f(b)$，试证至少存在一个$[\alpha,\beta] \subset [a,b]$，且$\beta - \alpha = \dfrac{b-a}{2}$，使$f(\alpha) = f(\beta)$。