330题集

证明：当$x > 0$ 时，$\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$；

设$x_n = \left(1 + \frac{n^2 - n + 1}{n^3}\right)\left(1 + \frac{n^2 - n + 3}{n^3}\right)\cdots\left(1 + \frac{n^2 + n - 1}{n^3}\right)$，求$\lim_{n \to \infty} x_n$。

已知 Stolz 定理: 若$\lim_{n \to \infty} x_n = L$, 则$\lim_{n \to \infty} \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = L$. 证明: 若$x_n > 0$,$n = 1,2,\cdots$, 且$x_1 = 1$,$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = L$ ($L > 0$), 则$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} = L$;

设数列$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 满足:$x_1 = 1, x_2 = 1, x_{n+2} = x_{n+1} + x_n, n = 1,2,\cdots$. 证明:$x_n = \frac{a^n - b^n}{\sqrt{5}}$, 其中$a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, b = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$;

对 (2) 中的$x_n$, 求极限$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n}$.

设数列$\lbrace{}x_n\rbrace{}$ 满足$x_{n+1} = \sqrt{\frac{\pi}{2} x_n \sin x_n}$，且$0 < x_1 < \frac{\pi}{2}$。求$\lim_{n \to \infty} \frac{\sec x_n - \tan x_n}{\frac{\pi}{2} - x_n}$。

设$a_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} - 2\sqrt{n}$，证明数列$\lbrace{}a_n\rbrace{}$ 收敛。

设$f(x)$ 非负连续，且$f(0) = 0$，$f'(0) = \frac{1}{2}$，计算
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^{\ln(1+x)} t f(t) , dt}{\left[ \int_0^x \sqrt{f(t)} , dt \right]^2}.$$

当$x \to \infty$ 时，$\left[\frac{e}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}\right]^x - \sqrt{e}$ 与$x^k$ 是同阶无穷小量，求$k$ 的值。

求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \sqrt[4]{\frac{1+2x}{1-2x}} \cdot \sqrt[6]{\frac{1+3x}{1-3x}} \cdot \cdots \cdot \sqrt[2026]{\frac{1+1013x}{1-1013x}} - 1}{\arcsin x - (x^2 + 1)\arctan^2 x}$。

求$a, b$，使得$f(x) = \dfrac{(x^2 + a^2)(x - 1)}{e^{\frac{1}{x}} + b}$ 在$(-\infty, +\infty)$ 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点。

讨论函数$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x(x^2 - 4)}{\sin \pi x}, & x > 0, AsteroidLatexLineBreakToken \dfrac{x(x + 1)}{x^2 - 1}, & x \leq 0 \end{cases}$ 的连续性并指出间断点的类型。

设$f(x)$ 在$[a,b]$ 上连续，且$f(a) = f(b)$，试证至少存在一个$[\alpha,\beta] \subset [a,b]$，且$\beta - \alpha = \dfrac{b-a}{2}$，使$f(\alpha) = f(\beta)$。

已知$f(x)$ 在$x > 0$ 时有定义，且对任意$y > x > 0$，有
$$x < \frac{y - x}{f(y) - f(x)} < y,$$
若$f(1) = 0$，求$f(x)$。

设$f(x)$ 具有一阶连续导数，且$f(0) = 1$,$f(1) = a$.

(1) 求使得$1 + \frac{a}{\sqrt{2}} - \int_0^1 \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ 取得最大值的$f(x)$ 的表达式；

(2) 将$1 + \frac{a}{\sqrt{2}} - \int_0^1 \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx$ 取得的最大值记为$g(a)$，问当$a$ 为何值时，$g(a)$ 取得最大值？并求出该最大值。

设$f(x)$ 是一个多项式，$f(x) \geq x$，$f(x) \geq 1 - x$，证明：$f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{2}$。

当$0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时，证明：$\left(\frac{\sin x}{x}\right)^3 > \cos x$。

设函数$f(x)$ 在$(-\infty, +\infty)$ 上二阶连续可导，且对任意的$x$ 与$h$满足$$f(x+h) - f(x) = h f'\left(x + \frac{h}{2}\right).$$
求证：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$ 为常数。

设函数$y$ 在任意点$x$处的增量满足$$\Delta y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \Delta x - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + 1} \Delta y + \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1} + 1} \Delta x \Delta y,$$
且$y(0) = 0$，计算极限
$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{\arctan x} y(t) , dt}{x^2 \ln(x + \sqrt{1 + x^2})}.$$

设$f(x) = (x^3 - 1)^n \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)$，求$f^{(n+1)}(1)$。

设$f(x) = \sqrt[3]{\sin x^3} + \ln \cos x$，求$f^{(4)}(0)$ 以及$f^{(7)}(0)$。

讨论方程$x e^{2x} - 2x - \cos x = 0$ 实根的个数。

设$f(x) = \sin^2(x^2 + 1)$，求$f^{(n)}(0)$（$n = 1,2,3,\cdots$）。

设$f(x)$ 在$\mathbb{R}$ 上二阶可导，且$|f(x)| \leqslant M_0$，$|f''(x)| \leqslant M_1$。

证明$|f'(x)| \leqslant \sqrt{2M_0M_1}$。

设函数$f(x)$ 在闭区间$[0,4]$ 上具有二阶导数，且$f(0) = 0$，$f(1) = 1$，$f(4) = 2$。证
明存在$\xi \in (0,4)$，使$f''(\xi) = -\frac{1}{3}$。

设函数$f(x)$ 具有二阶导数且满足$f(0) = 0$，证明：存在$\xi \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，使得
$$f''(\xi) = f(\xi) + 2f'(\xi)\tan\xi.$$

设$f(x)$ 在$[0,1]$ 上存在二阶导数，且$f(0) = f(1) = 0$。试证明至少存在一点$\xi \in (0,1)$，使
$$|f''(\xi)| \geq 8 \max_{0 \leq x \leq 1} |f(x)|.$$

设函数$f(x)$ 在闭区间$[0,2]$ 上连续，在开区间$(0,2)$ 内可导，且$f(0) = 0$,$f(2) = 3$。

证明：存在两两互异的点$\xi_1, \xi_2, \xi_3 \in (0,2)$，使得
$$f'(\xi_2)f'(\xi_3)\sqrt{2 - \xi_1} \geq 2.$$

设某商品的需求函数为$Q = 1 - P - P^2 \left( 0 < P < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right)$，其中$Q, P$ 分别表示需求量和价格，求当收益最大时，需求弹性$\varepsilon (\varepsilon > 0)$ 的值。

求$\int \frac{1}{\cos^2 x \sin^4 x} , dx$。

设$f(x)$ 在$[a,b]$ 上二阶可导，且$f(a) = f'(a) = f''(a) = 0$。
(1) 求极限$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{(x - a)^2}$；

设$f(x)$ 在$[a,b]$ 上二阶可导，且$f(a) = f'(a) = f''(a) = 0$。
(2) 证明：若$f(b) = 0$，存在$\xi \in (a,b)$，使得$(\xi - a)^2 f''(\xi) - 2f(\xi) = 0$。

求：$\int x\ln(1+x^2)\arctan x,\mathrm{d}x$

求：$\int \max\lbrace{}1,x^2\rbrace{},\mathrm{d}x$

已知$y'(x) = \cos(1 - x)^2$，且$y(0) = 0$，求$\int_0^1 y(x) , dx$。

求$\int_0^{\sqrt{3}} \frac{x^4 \arctan x}{x^2 + 1} , dx$．

设$x_n = \frac{1}{n^2}(\sqrt{4n^2 - 1 \times 2} + \sqrt{4n^2 - 3 \times 4} + \sqrt{4n^2 - 5 \times 6} + \cdots + \sqrt{4n^2 - (2n-1) \cdot 2n})$, 求$\lim_{n \to \infty} x_n$.

设函数$f(x)$ 在$[0,1]$ 上二阶连续可导，$f(0) = f(1) = 0$，且$f(x) \neq 0, x \in (0,1)$，
证明：$$\int_0^1 \left| \frac{f''(x)}{f(x)} \right| , dx > 4.$$

记$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos((2n+1)x)}{\cos x} , dx$，求证：$I_n = \frac{(-1)^n}{2} \pi$；

计算极限$\lim_{n \to \infty} \left| \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2nx \cdot \ln \cos x , dx \right|$。

设$f(x)$ 为$[0,1]$ 上单调减少的连续函数，且$\int_0^1 f(x),dx = 1$。记$[x]$ 为不超过$x$ 的最大整数。

(1) 设$k$ 为整数，求$\int_{k-1}^k (x - [x]),dx$；

设$f(x)$ 为$[0,1]$ 上单调减少的连续函数，且$\int_0^1 f(x),dx = 1$。记$[x]$ 为不超过$x$ 的最大整数。

(2) 求$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 (nx - [nx]) f(x),dx$。

设函数$f(x)$ 在$(0, +\infty)$ 上可导，$f(1) = 0$，且满足
$$x(x+1)f'(x) - (x+1)f(x) + \int_1^x f(t),dt = x - 1,$$求$$\int_1^2 f(x),dx - 3f(2) + \lim_{x \to 1} \frac{\displaystyle \int_1^x \frac{\sin(t-1)^2}{t-1},dt}{f(x)}.$$

计算极限$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int_0^{n\pi} \frac{x}{1 + n^2 \cos^2 x} , dx$。

设在区间$[-1,1]$上，$|f(x)|\leq x^2$，$f''(x)>0$，记$I=\int_{-1}^{1}f(x)dx$，讨论$I$与$0$的关系。

(1) 证明对任意实数$x$，均有$e^{-x^2} \leqslant \frac{1}{1+x^2}$；
(2) 证明$\int_0^{+\infty} e^{-x^2} , dx$ 收敛，且对任意正整数$n(n \geqslant 2)$，均有$\int_0^{+\infty} e^{-x^2} , dx \leqslant \frac{\pi \sqrt{n}}{2} \cdot \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}$

求证：(1)$\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{\sin^{2} x} , \mathrm{d}x \geqslant \frac{3\pi}{2}$；(2)$\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{\sin^{2} x} , \mathrm{d}x \geqslant \sqrt{\mathrm{e}},\pi$．

设函数$f(x)$ 在闭区间$[0,1]$ 上连续。证明：存在$\xi \in (0,1)$，使
$$\int_0^\xi f(t),dt = (1 - \xi)f(\xi),$$
又若设$f(x) > 0$，且单调减少，则满足等式的$\xi$ 是唯一的。

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}}$

设函数$f(x)$ 满足$f''(x) > 0$，$\int_0^1 f(x),\mathrm{d}x = 0$，证明：对任意$x \in [0,1]$，都有
$$|f(x)| \leqslant \max\lbrace{}f(0), f(1)\rbrace{}.$$

设函数$f(x)$ 在$(-\infty, +\infty)$ 上连续，$\varphi(x) = f(x)\int_0^x f(t),\mathrm{d}t$ 单调减少，试证：$f(x) \equiv 0$。

设$f(x)$ 在$[0,1]$ 上连续，$\int_0^1 f(x),\mathrm{d}x = 0$.

(1) 求证：存在$\xi \in (0,1)$，使$f(1-\xi) + f(\xi) = 0$；

(2) 若$f(0) = 0$，求证：存在$\eta \in (0,1)$，使$\int_0^\eta f(x),\mathrm{d}x = \eta f(\eta)$。

设$f(x)$ 在$[1, +\infty)$ 上连续可导，且反常积分$\int_1^{+\infty} f(x),dx$，$\int_1^{+\infty} f'(x),dx$均收敛，求$$\lim_{x \to +\infty} f(x).$$

求$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^4)\sqrt[4]{1+x^4}},\mathrm{d}x$

讨论积分$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p \ln^q x} , dx$ ($p, q > 0$) 的敛散性。

设函数$f(x)$ 在$[1, +\infty)$ 上连续，$f(1) = -\frac{1}{2}$。若由曲线$y = f(x)$，直线$x = 1$，$x = t$（$t > 1$）与$x$ 轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周而成的旋转体体积为$$V(t) = \frac{\pi}{3}[t^2 f(t) - f(1)],$$

求$f(x)$（$x \geq 1$）。

设$f(x,y)$ 在$(0,0)$点连续，且$$\lim_{\substack{x \to 0 AsteroidLatexLineBreakToken y \to 0}} \frac{f(x,y) + 3x - 4y}{(x^2 + y^2)^\alpha} = 2 \quad (\alpha > 0),$$
求$f(x,y)$ 在$(0,0)$ 点可微时$\alpha$ 的取值范围。

设$f(x)$ 在$[0,1]$ 上可导，$f(0) = 0$，且$\forall x \in (0,1)$，$f(x) > 0$。求证：存在$\xi \in (0,1)$，使得
$$\int_0^1 f^3(x),dx = f'(\xi) \left[ \int_0^1 f(x),dx \right]^2.$$

设$z = f(x, y)$ 有连续偏导数，证明：存在可微函数$g(u)$，使得$f(x, y) = g(ax + by)$（$ab \neq 0$）的充要条件是$z = f(x, y)$满足$$b \frac{\partial z}{\partial x} = a \frac{\partial z}{\partial y}.$$

(1) 设$p > 0, q > 0$ 满足$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，求函数$\frac{x^p}{p} + \frac{y^q}{q}$ 在平面第一象限$x > 0, y > 0$ 内满足约束条件$xy = 1$ 的最小值；

(2) 对任意$x, y > 0$，证明不等式$\frac{x^p}{p} + \frac{y^q}{q} \geq xy$。

设$x, y, z \geq 0$,$x + y + z = \pi$, 求函数$f(x, y, z) = 2\cos x + 3\cos y + 4\cos z$ 的最大值和最小值.

设函数$f(x,y)$ 在$\mathbb{R}^2$上有连续一阶偏导数，且$$\lim_{r \to +\infty} \left( x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} \right) = m,$$
其中$r = \sqrt{x^2 + y^2}$，$m$ 为函数$g(x,y) = 1 - 4xy$ 在区域$x^2 + y^2 \leq 1$ 上的最小值。

(1) 求$m$ 的值；
(2) 证明：函数$f(x,y)$ 在$\mathbb{R}^2$ 上有最大值。

过椭圆$3x^2 + 2xy + 3y^2 = 1$ 上任意一点作椭圆的切线，试求该切线与两坐标轴所围三角形面积的最小值。

求积分$I = \int_0^1 dy \int_1^y (e^{-x^2} + e^x \sin x) dx$.

下列级数中发散的是

(A)$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{\int_{0}^{n} \sqrt[4]{1+x^{4}} , dx}$,

(B)$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}[\sqrt{2}+(-1)^{n}]^{n}}{3^{n}}$.

(C)$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n-1}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$.

(D)$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n^{3} + n \ln n}{n^{2} + 1}$.

已知级数$\sum_{n=2}^{\infty} \ln\left[1 + \frac{(-1)^n}{n^p}\right]$ ($p > 0$) 条件收敛，求$p$ 的取值范围。

设$a \neq 0$，讨论$\sum_{n=1}^{\infty} \sin(\pi \sqrt{n^2 + a^2})$ 的敛散性。

判别级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^n)}$ ($x > 0$) 的敛散性。

已知$A(1,1)$,$B(2,2)$,$C(a,1)$ 为坐标平面上的点，其中$a$ 为参数，问是否存在经过点$A,B,C$ 的曲线$y = k_1x + k_2x^2 + k_3x^3$？如果存在，求出曲线方程。

设$D$ 为$x^2 + y^2 = 1$ 的上半圆与$x^2 + y^2 = 2y$ 的下半圆所围成的区域，求二重积分$$I = \iint_D (\sqrt{4-x^2-y^2} - x^7 \cos^4 y) d\sigma$$

设$M = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\tan x}{1 + x^4} + x^8 \right) dx$,$N = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left[ \sin^8 x + \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \right] dx$,$P = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\tan^4 x + e^x \cos x - e^{-x} \cos x) dx$, 则有

(A)$P > N > M$.
(B)$N > P > M$.
(C)$N > M > P$.
(D)$P > M > N$.

设$A = \alpha \beta^\mathrm{T} - \alpha^\mathrm{T} \beta E$，其中$\alpha, \beta$ 均为非零列向量。证明：

(1)$A^2 + \alpha^\mathrm{T} \beta A = O$；

(2) 矩阵$A$ 不可逆。

已知$A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4]$ 是四阶矩阵，$\eta_1 = (3,1,-2,2)^T$，$\eta_2 = (0,-1,2,1)^T$ 是$Ax = 0$ 的基础解系，则下列命题中正确的一共有

①$\alpha_1$ 一定可由$\alpha_2, \alpha_3$ 线性表示．
②$\alpha_1, \alpha_3$ 是$A$ 的列向量的极大线性无关组．
③ 秩$r(\alpha_1, \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_3 - \alpha_4) = 2$．
④$\alpha_2, \alpha_4$ 是$A$ 的列向量的极大线性无关组．

(A) 4 个．
(B) 3 个．
(C) 2 个．
(D) 1 个．

已知向量组（Ⅰ）：$\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 AsteroidLatexLineBreakToken 1 AsteroidLatexLineBreakToken a \end{pmatrix}$，$\alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 AsteroidLatexLineBreakToken a AsteroidLatexLineBreakToken 1 \end{pmatrix}$，$\alpha_3 = \begin{pmatrix} a AsteroidLatexLineBreakToken 1 AsteroidLatexLineBreakToken 1 \end{pmatrix}$，向量组（Ⅱ）：$\beta_1 = \begin{pmatrix} 3 AsteroidLatexLineBreakToken 0 AsteroidLatexLineBreakToken -3 \end{pmatrix}$，$\beta_2 = \begin{pmatrix} -1 AsteroidLatexLineBreakToken 2 AsteroidLatexLineBreakToken -1 \end{pmatrix}$，$\beta_3 = \begin{pmatrix} a AsteroidLatexLineBreakToken -2 AsteroidLatexLineBreakToken 4 \end{pmatrix}$，问当$a$ 为何值时向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价。

已知向量组$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，向量组$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 可由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且$$(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)K.$$ (1) 证明向量组$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关的充分必要条件是$|K| \neq 0$；

已知向量组$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，向量组$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 可由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且$$(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)K.$$ (2) 若$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$,$\beta_2 = 2\alpha_1 + a\alpha_2 + 3\alpha_3$,$\beta_3 = \alpha_1 + 3\alpha_2 + a\alpha_3$，问$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是否线性相关？

设$\alpha, \beta$ 均为三维单位列向量，且内积$(\alpha, \beta) = 0$，求矩阵$A = E - \alpha\alpha^\mathrm{T} - \beta\beta^\mathrm{T}$ 的秩。

设$A$ 为三阶矩阵，交换$A$的第 1 行和第 2 行，再将第 1 列的 1 倍加到第 3 列得到矩阵$$ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 3 AsteroidLatexLineBreakToken 1 & 2 & 1 AsteroidLatexLineBreakToken 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}. $$
求矩阵$A$ 的特征值与矩阵$(A^)^2 - 3A^ + 2E$ 的迹。

设$A, B$ 均为三阶矩阵，证明方程组$Ax = 0$ 与$Bx = 0$ 同解的充分必要条件为$$r(A) = r(B) = r\left(\begin{array}{c} A AsteroidLatexLineBreakToken B \end{array}\right);$$

若$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 AsteroidLatexLineBreakToken 0 & 1 & 1 AsteroidLatexLineBreakToken 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & a AsteroidLatexLineBreakToken 0 & 1 & 1 AsteroidLatexLineBreakToken 0 & 2 & 2 \end{bmatrix}$，且方程组$Ax = 0$ 与$Bx = 0$ 不同解，确定数$a$ 满足的条件。

已知方程组
（Ⅰ）：$$ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1, AsteroidLatexLineBreakToken x_1 + 2x_2 + ax_3 = 1 \end{cases} $$
与（Ⅱ）：$$ \begin{cases} x_1 + 4x_2 + a^2x_3 = 1, AsteroidLatexLineBreakToken x_1 + 2x_2 + x_3 = a \end{cases} $$
有公共解，求$a$ 的值与所有公共解。

已知$A$ 是三阶矩阵，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$是线性无关的三维列向量，且满足$$A\alpha_1 = 3\alpha_1 + 4\alpha_3, \quad A\alpha_2 = 2\alpha_1 - \alpha_2 + 2\alpha_3, \quad A\alpha_3 = -2\alpha_1 - 3\alpha_3.$$

(1) 求矩阵$A$ 的特征值；

(2) 判断矩阵$A$ 能否相似对角化，说明理由；

(3) 求秩$r(A^2 + A)$.

已知$A$ 是三阶实对称矩阵，满足$A^2 - 2A = 3E$，若秩$r(A + E) = 2$，求与$A$ 相似的对角矩阵。

设$A, B, C, D$ 都是$n$ 阶矩阵，且$A \sim C$,$B \sim D$，则必有

(A)$(A + B) \sim (C + D)$.

(B)$\begin{bmatrix} A & O AsteroidLatexLineBreakToken O & B \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} C & O AsteroidLatexLineBreakToken O & D \end{bmatrix}$.

(C)$AB \sim CD$.

(D)$\begin{bmatrix} O & A AsteroidLatexLineBreakToken B & O \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} O & C AsteroidLatexLineBreakToken D & O \end{bmatrix}$.

设$A$ 为三阶实对称矩阵，$A$ 的各行元素之和为 2，$|A| = -4$，$\alpha = \begin{pmatrix} -1 AsteroidLatexLineBreakToken 0 AsteroidLatexLineBreakToken 1 \end{pmatrix}$ 为方程组$$(2A^{-1} + E)x = 0$$ 的解，求矩阵$A$。

已知$\alpha, \beta$ 均为三维非零列向量，矩阵$A = \alpha\beta^T$。试求矩阵$A$ 的特征值，并判断矩阵$A$ 能否对角化。

设$A$ 为三阶矩阵，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为三维列向量且$\alpha_1 \neq 0$，满足$A\alpha_1 = 0$,$A\alpha_2 = \alpha_1$,$A\alpha_3 = \alpha_2$。

(1) 证明向量组$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关；
(2) 求矩阵$A$ 的特征值；
(3) 矩阵$A$ 能否对角化？

已知$\alpha = \begin{pmatrix} 1 AsteroidLatexLineBreakToken 1 AsteroidLatexLineBreakToken 1 \end{pmatrix}$,$\beta = \begin{pmatrix} 1 AsteroidLatexLineBreakToken -2 AsteroidLatexLineBreakToken 1 \end{pmatrix}$.

(1) 求向量$\gamma$，使得$\alpha, \beta, \gamma$ 为正交向量组；

已知$\alpha = \begin{pmatrix} 1 AsteroidLatexLineBreakToken 1 AsteroidLatexLineBreakToken 1 \end{pmatrix}$,$\beta = \begin{pmatrix} 1 AsteroidLatexLineBreakToken -2 AsteroidLatexLineBreakToken 1 \end{pmatrix}$.

(2) 求矩阵$A = \alpha\alpha^\mathrm{T} + \beta\beta^\mathrm{T}$ 的特征值与特征向量。

已知三元二次型$x^{\mathrm{T}} A x=x_{1}^{2}-5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$, 若$\alpha=(2,1,2)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵$A$ 的特征向量，求二次型$x^{\mathrm{T}} A x$ 的正惯性指数$p$.

已知二次型$x^T A x = a x_1^2 + a x_2^2 + a x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_2x_3$ 的规范形是$y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$，求$a$ 的取值范围。

若二次型$f(x_1, x_2, x_3) = x^T (A^T A) x$ 为正定的，其中$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 AsteroidLatexLineBreakToken 1 & 0 & 1 AsteroidLatexLineBreakToken 0 & 1 & t \end{bmatrix}$，求$t$ 满足的条件。

已知二次型$f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 + x_3)^2 + (ax_1 + x_3)^2$，求可逆线性变换将二次型$f(x_1, x_2, x_3)$ 化为标准形。

设矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 AsteroidLatexLineBreakToken 1 & 0 & 1 AsteroidLatexLineBreakToken 2 & 2 & 4 \end{bmatrix}$，互换矩阵$A$ 的第 1, 3 列得到矩阵$B$，再将矩阵$B$ 第 2 列的$-1$ 倍加到第 3 列得到矩阵$C$。写出一个可逆矩阵$P_1$，使得$AP_1 = C$。这样的可逆矩阵是否唯一？如不唯一，试求出所有的可逆矩阵$P$ 使$AP = C$。

已知$A = \begin{bmatrix} 2 & a & 1 AsteroidLatexLineBreakToken 0 & -1 & 0 AsteroidLatexLineBreakToken 3 & 2 & 0 \end{bmatrix}$ 有 3 个线性无关的特征向量，求$a$，并求$A^n$。

设三阶实对称矩阵$A$ 的特征值是$1, -2, 0$，矩阵$A$ 属于特征值$1, -2$ 的特征向量分别是$\alpha_1 = (-1, -1, 1)^T, \alpha_2 = (1, a, -1)^T$。
(1) 求$A$ 的属于特征值 0 的特征向量；
(2) 求二次型$x^T A x$；
(3) 若二次型$x^T(A + kE)x$ 的规范形是$y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$，求$k$ 的取值范围。

已知二次型$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_3^2 - 6x_1 x_3$ 与$g(y_1, y_2, y_3) = y_1^2 - y_2^2 - y_3^2 - 2y_2 y_3$。
(1) 是否存在正交变换$x = Qy$，使得二次型$f(x_1, x_2, x_3)$ 化为二次型$g(y_1, y_2, y_3)$？
(2) 是否存在可逆线性变换$x = Py$，使得二次型$f(x_1, x_2, x_3)$ 化为二次型$g(y_1, y_2, y_3)$？若存在，求变换矩阵$P$。

已知某工厂生产$n$ 个零件的概率$p_n = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}$,$n = 0,1,2,\cdots$, 且$\lambda > 0$, 而每个零件能成为正品的概率为$p$, 各零件互不影响.
(1) 求该工厂有$m$ 个零件成为正品的概率；
(2) 若已知有$m$ 个正品零件，求工厂生产$n$ 个零件的概率。

假设一个厚度为$s$ 的容器，其内表面有不同深度的$N$个微坑，而这些坑的深度由于化学腐蚀的作用又在不断增加，当有一个坑的深度穿透容器时，该容器就损坏了。假设开始坑的深度均为随机变量，其概率密度$$ f(x) = \begin{cases} c\lambda e^{-\lambda x}, & 0 < x \leq s, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & \text{其他}, \end{cases} $$
其中参数$\lambda > 0$，$c$ 为待定常数。假定每个坑的穿透时间和去掉此坑后剩余的厚度成正比，求待定常数$c$ 及容器损坏时间$T$ 的分布函数。

设随机变量$X$ 服从$(0,1)$ 上的均匀分布，求$Y = X^{\ln X}$ 的密度函数。

设随机变量$X$ 服从$\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$上的均匀分布，令$$ Y = \begin{cases} 0, & X \leq 0, AsteroidLatexLineBreakToken \ln X, & X > 0, \end{cases} $$
求$Y$ 的分布函数。

设$X$ 与$Y$ 相互独立，且$X$ 服从泊松分布$P(\lambda)$，$Y$ 服从泊松分布$P(2\lambda)$，求$Z = X + Y$ 服从的分布。

已知随机变量$X_1$ 与$X_2$ 具有相同的分布函数$F(x)$，设$X = X_1 + X_2$ 的分布函数为$G(x)$，则有

设随机变量$X_1, X_2, X_3, X_4$ 均服从分布$B\left(1, \frac{1}{2}\right)$，则

设随机变量$X$ 和$Y$ 相互独立，$X \sim N(0,1)$，$Y \sim U[0,1]$，$Z = X + Y$，求$Z$ 的概率密度函数$f_Z(z)$。

设随机变量$X$ 与$Y$ 独立同分布，且均服从$N(0,1)$。

求：(1)$Z = X^2 + Y^2$ 的密度函数；

(2)$U = \frac{X}{Y}$ 的密度函数。

设随机变量$X, Y$ 独立同分布，且均服从$E(\lambda)$。

求：(1)$Z = \frac{X}{Y}$ 的密度函数；

设随机变量$X, Y$ 独立同分布，且均服从$E(\lambda)$。

求：(2)$U = \frac{Y}{X + Y}$ 的密度函数；

设随机变量$X, Y$ 独立同分布，且均服从$E(\lambda)$。

求：(3)$V = \frac{\min\lbrace{}X, Y\rbrace{}}{\max\lbrace{}X, Y\rbrace{}}$ 的密度函数；

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$$f(x,y) = Ae^{-2x^2 - y^2},\quad -\infty < x < +\infty,\ -\infty < y < +\infty.$$
求：(1) 常数$A$；
(2) 条件概率密度$f_{Y|X}(y \mid x)$。

已知随机变量$X$ 的分布函数为$F(x)$,$Y_k = \begin{cases} 0, & X \leq k, AsteroidLatexLineBreakToken 1, & X > k, \end{cases} k = 1,2.$ 令$U = Y_1 + Y_2$,$V = Y_1 Y_2$. (1) 试求$U, V$ 的联合分布律； (2) 如果$0 < F(2) < 1$, 试讨论$U$ 与$V$ 的相关性，独立性。

已知随机变量$X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ 独立同分布于标准正态分布，记$U = \max\lbrace{}X_1, X_2, X_3\rbrace{}$，$V = \min\lbrace{}X_4, X_5\rbrace{}$．求：(1)$(U, V)$ 的概率密度，及$P\lbrace{}U > V\rbrace{}$；(2)$P\lbrace{}U = X_3\rbrace{}$．

设随机变量$X$ 和$Y$ 独立同分布，已知$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，求$Z = \min\lbrace{}X, Y\rbrace{}$ 的数学期望$E(Z)$。

设随机变量$X \sim N(0,1)$，在$X = x$ 条件下，随机变量$Y \sim N(x,1)$，求$Y$ 的方差$DY$。

已知$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$Y = \min\lbrace{}X, \mu\rbrace{}$，求相关系数$\rho_{XY}$。

假设随机变量$X_1$ 与$X_2$ 相互独立，$X_i$ 服从参数为$i, p$ ($0 < p < 1$) 的二项分布，其中$i = 1, 2$。令随机变量

$$ Y_1 = \begin{cases} 0, & X_2 + X_1 = 1, AsteroidLatexLineBreakToken 1, & X_2 + X_1 \ne 1, \end{cases} \quad Y_2 = \begin{cases} 0, & X_2 - X_1 = 2, AsteroidLatexLineBreakToken 1, & X_2 - X_1 \ne 2. \end{cases} $$

试确定$p$ 的值，使$Y_1$ 与$Y_2$ 的协方差最小。

已知$(X,Y)$ 的概率密度为$f(x,y) = \frac{1}{12\pi} e^{-\frac{1}{72}(9x^2 + 4y^2 - 8y + 4)}$，求$\frac{9X^2}{4(Y-1)^2}$ 服从的分布及参数。

已知$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本，参数$\mu$ 与$\sigma^2$ 未知。

(1) 已知$\int_{-\infty}^{A} f(x; \mu, \sigma^2) , dx = 0.975$，求参数$A$ 的最大似然估计量，其中$f(x; \mu, \sigma^2)$ 为总体随机变量$X$ 的概率密度；（$\Phi(1.96) = 0.975$）

(2) 若$\hat{\mu}$ 与$\hat{\sigma}^2$ 分别为$\mu$ 与$\sigma^2$ 的最大似然估计量，计算期望$E[(\hat{\mu} - \mu)^4 \hat{\sigma}^4]$。

已知$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体$X$ 的简单随机样本，且总体$X$的概率密度$$ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda(x-\mu)}, & x \geq \mu, AsteroidLatexLineBreakToken 0, & x < \mu, \end{cases} $$
其中$\lambda > 0$，$\lambda, \mu$ 均未知。

(1) 求参数$\lambda, \mu$ 的最大似然估计量$\hat{\lambda}, \hat{\mu}$；

(2) 若$E\left(\frac{k}{\hat{\lambda}}\right) = \frac{1}{\lambda}$，求参数$k$。