零、导入

遇到概念题的时候，比证明结论更简单的方法是举反例，但反例法一般既耗时又难想出来。这个方法专门用于尝试举一些概念题的反例，帮助我们迅速通关。

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一、何意味矩阵

何意味矩阵是两个配套的矩阵：$$AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 AsteroidLatexLineBreakToken\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 AsteroidLatexLineBreakToken\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

除此之外，将两个矩阵各自旋转$90$度可以得到变种形式：$$AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 AsteroidLatexLineBreakTokenAsteroidLatexLineBreakToken 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 AsteroidLatexLineBreakTokenAsteroidLatexLineBreakToken 0 & 0 \end{bmatrix} $$

这两个矩阵可以是任意阶，只要$1$的位置正确即可。

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二、优异性质

①$$AB= \begin{bmatrix} 0 & 0 AsteroidLatexLineBreakToken\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

②$$BA= \begin{bmatrix} 0 & 1 AsteroidLatexLineBreakToken\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

③ 原版矩阵$A,B$列向量组等价，变种矩阵$A,B$行向量组等价（$Ax=0$ 与$Bx=0$同解）

④ 矩阵$A$本身不可对角化。

这些是我们套用何意味矩阵的依据以及线索，不过不要硬背，到考场上自行快速拼凑推导即可。

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三、实操演示

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1.原则

秩满想单位，不满何意味

即题干提及到矩阵满秩则应该联想单位阵或者其他衍生矩阵（例如对角阵）；如果矩阵不满秩则可尝试先用何意味矩阵作为例子对结论进行考察。

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2.例题

（2025，数1，7）设$n$阶矩阵$A,B,C$满足$r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n$，给出下列四个结论：
$①r(ABC) + n = r(AB)+ r(C)$；$②r(AB) + n = r(A)+ r(B)$；

$③r(A) = r(B) = r(C) = n$；$④r(AB) = r(BC) = n$；

其中正确结论的序号是（）

$A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④$

解析：令矩阵$A,B$分别为二阶何意味矩阵，可得$n = 2,r(A)= r(B)= 1 , r(ABC) = 0$，则$r(C) = 2$ , 故$C$满秩，通过排除可知$①②$暂时成立但是$③④$不成立，故选$A$。